# 第 24053 題：Taylor多項式 [返回所在分頁 121](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/121/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0047-24053 · q-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-0053 ## 原題與已知條件 固定center、nonnegative order與完整zero-through-n derivative jet。操作=taylor-exact-polynomial-reconstruction；資料={"shifted_coefficients":[3,6,9,12,15],"center":-10,"point":-10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 固定center、nonnegative order與完整zero-through-n derivative jet。操作=taylor-exact-polynomial-reconstruction；資料={"shifted_coefficients":[3,6,9,12,15],"center":-10,"point":-10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-taylor-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [taylor-exact-polynomial-reconstruction] 操作後 derived = [[shifted_coefficients, derivatives_at_center, reconstructed_coefficients, point, original_value, reconstructed_value, equal, certificate]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [-10, [3, 6, 9, 12, 15]] 操作後 derived = [P(x)=sum c_k*(x-center)^k, 4] 條件：無 這裡整個有限多項式已明示；在a處第k導數僅k次項留下k!c_k，其他次項在代a時為0。不是任意光滑函數的無窮展開。 步驟識別與依賴規則：Taylor_finite_shifted_polynomial_whole_law · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [0] 操作後 derived = [1] 條件：無 0!是空乘積1，不是0。 步驟識別與依賴規則：empty_factorial_is_multiplicative_unit · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Taylor derivative0 from shifted coefficient := mul(3, 1) 操作後 Taylor derivative0 from shifted coefficient = 3 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Taylor recover coefficient0 := div(3, 1) 操作後 Taylor recover coefficient0 = 3 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Taylor k1 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k1 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Taylor derivative1 from shifted coefficient := mul(6, 1) 操作後 Taylor derivative1 from shifted coefficient = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Taylor recover coefficient1 := div(6, 1) 操作後 Taylor recover coefficient1 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Taylor k2 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k2 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Taylor k2 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Taylor k2 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Taylor derivative2 from shifted coefficient := mul(9, 2) 操作後 Taylor derivative2 from shifted coefficient = 18 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Taylor recover coefficient2 := div(18, 2) 操作後 Taylor recover coefficient2 = 9 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Taylor k3 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k3 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Taylor k3 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Taylor k3 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Taylor k3 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Taylor k3 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Taylor derivative3 from shifted coefficient := mul(12, 6) 操作後 Taylor derivative3 from shifted coefficient = 72 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Taylor recover coefficient3 := div(72, 6) 操作後 Taylor recover coefficient3 = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Taylor k4 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k4 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Taylor k4 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Taylor k4 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Taylor k4 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Taylor k4 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Taylor k4 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Taylor k4 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Taylor derivative4 from shifted coefficient := mul(15, 24) 操作後 Taylor derivative4 from shifted coefficient = 360 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Taylor recover coefficient4 := div(360, 24) 操作後 Taylor recover coefficient4 = 15 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Taylor SAME point minus declared center := sub(-10, -10) 操作後 Taylor SAME point minus declared center = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Taylor original Horner product4 := mul(0, 0) 操作後 Taylor original Horner product4 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Taylor original Horner sum4 := sum(0, 15) 操作後 Taylor original Horner sum4 = 15 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Taylor original Horner product3 := mul(15, 0) 操作後 Taylor original Horner product3 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Taylor original Horner sum3 := sum(0, 12) 操作後 Taylor original Horner sum3 = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Taylor original Horner product2 := mul(12, 0) 操作後 Taylor original Horner product2 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Taylor original Horner sum2 := sum(0, 9) 操作後 Taylor original Horner sum2 = 9 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Taylor original Horner product1 := mul(9, 0) 操作後 Taylor original Horner product1 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Taylor original Horner sum1 := sum(0, 6) 操作後 Taylor original Horner sum1 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Taylor original Horner product0 := mul(6, 0) 操作後 Taylor original Horner product0 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Taylor original Horner sum0 := sum(0, 3) 操作後 Taylor original Horner sum0 = 3 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner product4 := mul(0, 0) 操作後 Taylor reconstructed Horner product4 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner sum4 := sum(0, 15) 操作後 Taylor reconstructed Horner sum4 = 15 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner product3 := mul(15, 0) 操作後 Taylor reconstructed Horner product3 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner sum3 := sum(0, 12) 操作後 Taylor reconstructed Horner sum3 = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner product2 := mul(12, 0) 操作後 Taylor reconstructed Horner product2 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner sum2 := sum(0, 9) 操作後 Taylor reconstructed Horner sum2 = 9 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner product1 := mul(9, 0) 操作後 Taylor reconstructed Horner product1 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner sum1 := sum(0, 6) 操作後 Taylor reconstructed Horner sum1 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner product0 := mul(6, 0) 操作後 Taylor reconstructed Horner product0 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Taylor reconstructed Horner sum0 := sum(0, 3) 操作後 Taylor reconstructed Horner sum0 = 3 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 source roles = [[3, 6, 9, 12, 15], [3, 6, 9, 12, 15], -10, -10] 操作後 derived = [是, 3, 3, 是] 條件：無 先逐係數除回k!得到同一整個多項式，再在同一point、同一center求值；單一值相等本身不是多項式相等的證明。 步驟識別與依賴規則：Taylor_ALL_coefficients_recovered_before_point_equality · 依賴：G001, S044 ## 逐步反向核對 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner sum0，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner product0，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner sum1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner product1，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner sum2，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner product2，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner sum3，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner product3，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner sum4，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor reconstructed Horner product4，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner sum0，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner product0，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner sum1，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner product1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner sum2，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner product2，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner sum3，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner product3，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner sum4，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor original Horner product4，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor SAME point minus declared center，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor recover coefficient4，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor derivative4 from shifted coefficient，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k4 factorial step4，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k4 factorial step3，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k4 factorial step2，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k4 factorial step1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor recover coefficient3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor derivative3 from shifted coefficient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k3 factorial step3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k3 factorial step2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k3 factorial step1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor recover coefficient2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor derivative2 from shifted coefficient，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k2 factorial step2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k2 factorial step1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor recover coefficient1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor derivative1 from shifted coefficient，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k1 factorial step1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor recover coefficient0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor derivative0 from shifted coefficient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([3, 6, 9, 12, 15], [3, 6, 18, 72, 360], [3, 6, 9, 12, 15], -10, 3, 3, 是, degree_at_most_n_polynomial_is_exactly_reconstructed) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d113ea452b49ce61d07298f7b289dcc378bb41e61a8b996a6558f725c75c5f62 - candidate record SHA-256: 599a2a757439c3fccb3eccb438900a257cd0440232ef70dd79781d3ca9c355c6 - semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386 - question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-0053.json)