# 第 23636 題：瑕積分 [返回所在分頁 119](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/119/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0011) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0046-23636 · q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0011 ## 原題與已知條件 題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-one-sided-tail；資料={"scale":11,"exponent":4,"lower":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-one-sided-tail；資料={"scale":11,"exponent":4,"lower":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-improper-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-improper-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=improper-one-sided-tail;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[integrand, interval, integral, converges, certificate] 條件：無 保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step1 := mul(1, 1) 操作後 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step1 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step2 := mul(1, 1) 操作後 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step2 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step3 := mul(1, 1) 操作後 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step3 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Improper ORIGINAL positive tail exponent-minus-one times lower-power := mul(3, 1) 操作後 Improper ORIGINAL positive tail exponent-minus-one times lower-power = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Improper ORIGINAL positive tail exact antiderivative limit value := div(11, 3) 操作後 Improper ORIGINAL positive tail exact antiderivative limit value = 11/3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Improper ORIGINAL positive tail:ORIGINAL scale=11,exponent=4>1,lower=1>=1;integrand scale/x^exponent 操作後 for EVERY B>=lower,integral_lower^B=scale/(exponent-1)*(lower^(1-exponent)-B^(1-exponent));B^(1-exponent) tends0,so limit=11/3 條件：無 k>1使B的負次冪趨0；絕對尾誤差是|scale|/((k−1)B^(k−1))，對任意epsilon可選足夠B。signed或0 scale皆可，這是全稱limit，不靠幾個cutoff。 步驟識別與依賴規則：improper_WHOLE_one_sided_tail_antiderivative_limit_not_samples · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail exact antiderivative limit value，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail exponent-minus-one times lower-power，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step3，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (f(x)=11/x^4, [1,infinity), 11/3, 是, limit_of_integrals_from_lower_to_b_as_b_tends_to_infinity) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d5c7b58f03cb57c2373d8b1753cfb443f8f9ac52595ed5fffe8e899b967560dc - candidate record SHA-256: a7605195af3199eecb448540a6e8b9639497fafbd6a72f45f571758e8466e9f1 - semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1 - question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0011.json)