# 第 23614 題：瑕積分 [返回所在分頁 119](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/119/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0039) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0046-23614 · q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0039 ## 原題與已知條件 題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-interior-singular-split；資料={"left_scale":14,"right_scale":15,"left_power_numerator":1,"left_power_denominator":2,"right_power_numerator":2,"right_power_denominator":3,"singularity":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-interior-singular-split；資料={"left_scale":14,"right_scale":15,"left_power_numerator":1,"left_power_denominator":2,"right_power_numerator":2,"right_power_denominator":3,"singularity":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-improper-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-improper-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=improper-interior-singular-split;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[interval, singularity, left_integrand, right_integrand, left_integral, right_integral, left_converges, right_converges, sum, certificate] 條件：無 保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Improper LEFT reduced exponent numerator gap := sub(2, 1) 操作後 Improper LEFT reduced exponent numerator gap = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Improper LEFT reciprocal of one minus exponent := div(2, 1) 操作後 Improper LEFT reciprocal of one minus exponent = 2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Improper LEFT scale times singular-side integral := mul(14, 2) 操作後 Improper LEFT scale times singular-side integral = 28 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL LEFT side at c=1;scale=14;REDUCED exponent=1/2 in[0,1) 操作後 put distance t>0 from c;integral_delta^1 scale*t^(-exponent)=scale/(1-exponent)*(1-delta^(1-exponent));positive1-exponent makes delta term vanish,side limit=28 條件：無 每一側各用到奇點的正距離，單獨取delta→0；0次方亦合法且0/1已約分。尺度可負／0，不能由左右相消代替任一單側極限。 步驟識別與依賴規則：improper_EACH_interior_singular_side_independent_limit · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Improper RIGHT reduced exponent numerator gap := sub(3, 2) 操作後 Improper RIGHT reduced exponent numerator gap = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Improper RIGHT reciprocal of one minus exponent := div(3, 1) 操作後 Improper RIGHT reciprocal of one minus exponent = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Improper RIGHT scale times singular-side integral := mul(15, 3) 操作後 Improper RIGHT scale times singular-side integral = 45 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL RIGHT side at c=1;scale=15;REDUCED exponent=2/3 in[0,1) 操作後 put distance t>0 from c;integral_delta^1 scale*t^(-exponent)=scale/(1-exponent)*(1-delta^(1-exponent));positive1-exponent makes delta term vanish,side limit=45 條件：無 每一側各用到奇點的正距離，單獨取delta→0；0次方亦合法且0/1已約分。尺度可負／0，不能由左右相消代替任一單側極限。 步驟識別與依賴規則：improper_EACH_interior_singular_side_independent_limit · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Improper independent singular-side limits sum := sum(28, 45) 操作後 Improper independent singular-side limits sum = 73 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper independent singular-side limits sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper RIGHT scale times singular-side integral，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper RIGHT reciprocal of one minus exponent，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper RIGHT reduced exponent numerator gap，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper LEFT scale times singular-side integral，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper LEFT reciprocal of one minus exponent，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper LEFT reduced exponent numerator gap，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([0,2], 1, left:14*(c-x)^(-1/2), right:15*(x-c)^(-2/3), 28, 45, 是, 是, 73, interior_singularity_is_split_and_both_one_sided_limits_converge_independently) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7850139735f002bd980970a3ca4e52239671a7e785b88ae19abc21a552ec43e1 - candidate record SHA-256: 3d1cc5ce8d4749c92f056b3df256e69be217ced9b724188e01ccf95371f31d10 - semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1 - question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0039.json)