# 第 23689 題：瑕積分

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0046-23689 · q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0064



## 原題與已知條件

題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-two-sided-independent；資料={"left_scale":14,"right_scale":15,"exponent":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-two-sided-independent；資料={"left_scale":14,"right_scale":15,"exponent":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-improper-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-improper-integral/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=improper-two-sided-independent;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[piecewise_integrand, interval, left_tail_integral, right_tail_integral, left_converges, right_converges, sum, certificate]

條件：無

保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u lower positive power step1 := mul(1, 1)

操作後

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u lower positive power step1 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u lower positive power step2 := mul(1, 1)

操作後

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u lower positive power step2 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u exponent-minus-one times lower-power := mul(2, 1)

操作後

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u exponent-minus-one times lower-power = 2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u exact antiderivative limit value := div(14, 2)

操作後

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u exact antiderivative limit value = 7

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

Improper ORIGINAL negative tail after x=-u:ORIGINAL scale=14,exponent=3>1,lower=1>=1;integrand scale/x^exponent

操作後

for EVERY B>=lower,integral_lower^B=scale/(exponent-1)*(lower^(1-exponent)-B^(1-exponent));B^(1-exponent) tends0,so limit=7

條件：無

k>1使B的負次冪趨0；絕對尾誤差是|scale|/((k−1)B^(k−1))，對任意epsilon可選足夠B。signed或0 scale皆可，這是全稱limit，不靠幾個cutoff。

步驟識別與依賴規則：improper_WHOLE_one_sided_tail_antiderivative_limit_not_samples · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step1 := mul(1, 1)

操作後

Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step1 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step2 := mul(1, 1)

操作後

Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step2 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Improper ORIGINAL positive tail exponent-minus-one times lower-power := mul(2, 1)

操作後

Improper ORIGINAL positive tail exponent-minus-one times lower-power = 2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Improper ORIGINAL positive tail exact antiderivative limit value := div(15, 2)

操作後

Improper ORIGINAL positive tail exact antiderivative limit value = 15/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

Improper ORIGINAL positive tail:ORIGINAL scale=15,exponent=3>1,lower=1>=1;integrand scale/x^exponent

操作後

for EVERY B>=lower,integral_lower^B=scale/(exponent-1)*(lower^(1-exponent)-B^(1-exponent));B^(1-exponent) tends0,so limit=15/2

條件：無

k>1使B的負次冪趨0；絕對尾誤差是|scale|/((k−1)B^(k−1))，對任意epsilon可選足夠B。signed或0 scale皆可，這是全稱limit，不靠幾個cutoff。

步驟識別與依賴規則：improper_WHOLE_one_sided_tail_antiderivative_limit_not_samples · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Improper independently convergent tails plus zero middle := sum(7, 15/2)

操作後

Improper independently convergent tails plus zero middle = 29/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

ORIGINAL piecewise scales left=14,right=15,exponent=3;middle(-1,1) integrand0

操作後

negative-tail limit=7;positive-tail limit=15/2;BOTH independently finite,then ordinary sum=29/2

條件：無

負尾先用u=-x轉到[1,infinity)，不多帶負號；中段0。即使兩值相消成0，收斂理由仍是兩側分別的limit證書，不是對稱性。

步驟識別與依賴規則：improper_TWO_independent_infinite_tails_before_signed_sum · 依賴：G001, S012









## 逐步反向核對


- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper independently convergent tails plus zero middle，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail exact antiderivative limit value，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail exponent-minus-one times lower-power，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step2，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL positive tail lower positive power step1，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL negative tail after x=-u exact antiderivative limit value，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL negative tail after x=-u exponent-minus-one times lower-power，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL negative tail after x=-u lower positive power step2，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Improper ORIGINAL negative tail after x=-u lower positive power step1，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(x<=-1:14/abs(x)^3;-1<x<1:0;x>=1:15/x^3, (-infinity,infinity), 7, 15/2, 是, 是, 29/2, both_one_sided_tail_integrals_converge_independently)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: c14fadc836401836bca60bcb77c4aab7cc52c2ee9a1138dd69dbf28105d9b9ae
- candidate record SHA-256: 41838da4e7316f31f769513138267f8b4aee8b3e436894f49e44e95df3a42039
- semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1
- question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0064.json)