# 第 23675 題：瑕積分

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0046-23675 · q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0100



## 原題與已知條件

題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-principal-value-boundary；資料={"cutoff":26,"epsilon_denominator":26}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 題幹明示integrand、區間、cutoff與每個無界端或奇點的one-sided limit責任。操作=improper-principal-value-boundary；資料={"cutoff":26,"epsilon_denominator":26}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-improper-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-improper-integral/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=improper-principal-value-boundary;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[integrand, domain, cutoff, epsilon, symmetric_truncated_value, symmetric_principal_value_zero, ordinary_improper_converges, finite_cutoffs_certificate, boundary]

條件：無

保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · implies操作前

ORIGINAL f(x)=1/x;B=26>=2;epsilon=1/26<=1/2

操作後

for EVERY B>epsilon>0,positive truncated integral=log(B)-log(epsilon),negative truncated integral=its negative;sum0,so symmetric principal value0

條件：無

負側以x=-u代換，兩個對稱截斷積分恰好相反；這對全部有效cutoffs成立，不只原顯示B/epsilon這一組。

步驟識別與依賴規則：improper_PV_exact_odd_symmetric_truncations_ALL_cutoffs · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

ORIGINAL whole integrand1/x on both infinite ends and both sides of singularity0

操作後

integral_epsilon^1=-log(epsilon) tends+infinity and integral_-1^-epsilon tends-infinity;integral_1^B=log(B) tends+infinity and integral_-B^-1 tends-infinity;ordinary improper convergence=否,finite_cutoffs_certificate=否

條件：無

通常瑕積分要求各無界端／奇點逐側的有限極限；+infinity與−infinity不能相消定義普通積分。PV0與有限截斷0不替代這些責任。

步驟識別與依賴規則：improper_REQUIRED_independent_limits_diverge_despite_PV0 · 依賴：G001, S002









## 逐步反向核對


- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(f(x)=1/x, (-infinity,infinity) with singularity at 0, 26, 1/26, 0, 是, 否, 否, symmetric_principal_value_is_zero_but_the_required_one_sided_limits_diverge_and_finite_cutoffs_do_not_prove_convergence)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 8b15a84a9f3ae08085af101df030ca0b01d0752821a52809b0dc97984661b199
- candidate record SHA-256: c962520b21e86805e89cc113ea681ae40d197b59f37e933233b4b004f76d386e
- semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1
- question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r04-improper-integral-0100.json)