# 第 23812 題：冪級數收斂半徑 [返回所在分頁 120](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/120/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r05-power-series-radius-of-convergence-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r05-power-series-radius-of-convergence-0062) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0046-23812 · q-20261014-advance-20261112-r05-power-series-radius-of-convergence-0062 ## 原題與已知條件 明示對每個n>=0有效的完整coefficient law、center與extended radius。操作=radius-endpoint-independent；資料={"center":-1,"radius":2,"decay_power":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 明示對每個n>=0有效的完整coefficient law、center與extended radius。操作=radius-endpoint-independent；資料={"center":-1,"radius":2,"decay_power":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-power-series-radius-of-convergence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=radius-endpoint-independent;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[coefficient_law, center, radius, decay_power, positive_endpoint_status, negative_endpoint_status, separate_endpoint_certificate, boundary] 條件：無 保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL center=-1;R=2>0;power=2;WHOLE a_n=R^(-n)/(n+1)^power for EVERY n>=0 操作後 coefficient ratio tends1/R,so radius=2;at c+R terms=1/(n+1)^2;at c-R terms=(-1)^n/(n+1)^2 條件：無 完整law給ratio limit與半徑，但兩端仍要代值；不是從有限prefix猜root-test極限。 步驟識別與依賴規則：radius_ENDPOINT_whole_coefficient_law_same_radius · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ORIGINAL endpoint power=2;positive endpoint=c+R,negative endpoint=c-R 操作後 positive_endpoint_status=absolute_convergence;negative_endpoint_status=absolute_convergence;separate_endpoint_certificate=是 條件：無 p0兩端項皆不趨0；p1正端harmonic發散、負端交錯項遞減至0而收斂，但絕對harmonic仍發散；p2兩端皆由p-series絕對收斂。同一R不決定這些結果。 步驟識別與依賴規則：radius_TWO_endpoints_separate_term_pseries_alternating_tests · 依賴：G001, S002 ## 逐步反向核對 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (a_n=2^(-n)/(n+1)^2_for_every_n>=0, -1, 2, 2, absolute_convergence, absolute_convergence, 是, same_radius_does_not_determine_either_endpoint) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 36e47a1fde37d5e13c17d4ccb72517bc447944d39cd2e71b3f016d6916f50c21 - candidate record SHA-256: f509b23cc6f9027db2a6c6ba6132ecb24d45ff86439583b53ad4c8745634f703 - semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1 - question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r05-power-series-radius-of-convergence-0062.json)