# 第 23877 題：冪級數收斂半徑

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0046-23877 · q-20261014-advance-20261112-r05-power-series-radius-of-convergence-0077



## 原題與已知條件

明示對每個n>=0有效的完整coefficient law、center與extended radius。操作=radius-zero-infinity-prefix-boundary；資料={"mode":"infinite_radius","scale":2,"prefix_length":0,"first_ratio":1,"second_ratio":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 明示對每個n>=0有效的完整coefficient law、center與extended radius。操作=radius-zero-infinity-prefix-boundary；資料={"mode":"infinite_radius","scale":2,"prefix_length":0,"first_ratio":1,"second_ratio":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-power-series-radius-of-convergence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=radius-zero-infinity-prefix-boundary;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[mode, scale, coefficient_law, radius, symbolic_certificate, certificate]

條件：無

保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · implies操作前

ORIGINAL mode=infinite_radius,positive scale=2;unused-field sentinels prefix0,ratios1/1

操作後

WHOLE a_n=scale/n! for EVERY n>=0;for any fixed finite displacement t,absolute term ratio=|t|/(n+1) tends0,so absolute convergence at EVERY t;R=infinity

條件：無

對任意固定t，足夠大n後ratio<1/2即可用幾何尾界；不需要猜級數總和或由有限樣本外推無窮半徑。

步驟識別與依賴規則：radius_WHOLE_factorial_denominator_radius_infinity · 依賴：G001, S001









## 逐步反向核對


- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(infinite_radius, 2, a_n=2/n!_for_every_n>=0, infinity, 是, factorial_denominator_gives_infinite_radius)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 219d1574d0808f75cc8fd2c64fa4900260b406a5487dd8c85712a7c4a25e9ac9
- candidate record SHA-256: 5b479684b4b58fc7f1b6664b86362ac72cd8f560534a7ef0fbeff4b9f11942d9
- semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1
- question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r05-power-series-radius-of-convergence-0077.json)