# 第 23703 題：Legendre符號

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0046-23703 · q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0003



## 原題與已知條件

odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-classification-table；資料={"prime":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-classification-table；資料={"prime":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-legendre-symbol](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=legendre-classification-table;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[prime, class_symbol_rows, complete_partition, certificate]

條件：無

保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · implies操作前

Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=7;ALL possible trial divisors through square root=[2]

操作後

ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1]];prime=是

條件：無

先完整核prime資格，不用Legendre或Euler分類反過來猜prime；這是modulus前提，不是a的平方性。

步驟識別與依賴規則：legendre_complete_prime_trial_not_Euler_classification · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1)

操作後

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

ORIGINAL root x=1 in1..6;exact square=1

操作後

square=0*7+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

條件：無

每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。

步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2)

操作後

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

ORIGINAL root x=2 in1..6;exact square=4

操作後

square=0*7+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

條件：無

每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。

步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3)

操作後

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

ORIGINAL root x=3 in1..6;exact square=9

操作後

square=1*7+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

條件：無

每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。

步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4)

操作後

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

ORIGINAL root x=4 in1..6;exact square=16

操作後

square=2*7+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

條件：無

每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。

步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5)

操作後

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

ORIGINAL root x=5 in1..6;exact square=25

操作後

square=3*7+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

條件：無

每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。

步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6)

操作後

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

ORIGINAL root x=6 in1..6;exact square=36

操作後

square=5*7+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

條件：無

每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。

步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

ORIGINAL prime=7;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 2], [4, 2], [5, 4], [6, 1]];nonzero square classes=[1, 2, 4]

操作後

for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1

條件：無

先分離zero類，不能因0也是平方便給+1；非零類再依完整square table分residue／nonresidue。這是定義與完整見證，不靠後續乘法性或Euler公式。

步驟識別與依賴規則：legendre_ZERO_then_residue_nonresidue_three_way_definition · 依賴：G001, S014









## 逐步反向核對


- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(7, [[0, 0], [1, 1], [2, 1], [3, -1], [4, 1], [5, -1], [6, -1]], 是, zero_residue_nonresidue_partition_is_complete)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: c4d056a0ddd2007edb2f8e536aaaf756c78ea5a4c081a82ca91c439944faa1f6
- candidate record SHA-256: 970b8fa3f9cffade6aac36aa3ae7f165d4c254656a0392d8cc0440cb93df2170
- semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1
- question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0003.json)