# 第 23712 題：Legendre符號 [返回所在分頁 119](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/119/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0012) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0046-23712 · q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0012 ## 原題與已知條件 odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-classification-table；資料={"prime":41}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-classification-table；資料={"prime":41}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-legendre-symbol](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=legendre-classification-table;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[prime, class_symbol_rows, complete_partition, certificate] 條件：無 保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=41;ALL possible trial divisors through square root=[2, 3, 4, 5, 6] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 1], [6, 5]];prime=是 條件：無 先完整核prime資格，不用Legendre或Euler分類反過來猜prime；這是modulus前提，不是a的平方性。 步驟識別與依賴規則：legendre_complete_prime_trial_not_Euler_classification · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL root x=1 in1..40;exact square=1 操作後 square=0*41+1;canonical square class=1;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL root x=2 in1..40;exact square=4 操作後 square=0*41+4;canonical square class=4;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL root x=3 in1..40;exact square=9 操作後 square=0*41+9;canonical square class=9;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL root x=4 in1..40;exact square=16 操作後 square=0*41+16;canonical square class=16;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL root x=5 in1..40;exact square=25 操作後 square=0*41+25;canonical square class=25;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL root x=6 in1..40;exact square=36 操作後 square=0*41+36;canonical square class=36;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square := mul(7, 7) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square = 49 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL root x=7 in1..40;exact square=49 操作後 square=1*41+8;canonical square class=8;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square := mul(8, 8) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square = 64 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL root x=8 in1..40;exact square=64 操作後 square=1*41+23;canonical square class=23;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square := mul(9, 9) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square = 81 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL root x=9 in1..40;exact square=81 操作後 square=1*41+40;canonical square class=40;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square := mul(10, 10) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square = 100 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL root x=10 in1..40;exact square=100 操作後 square=2*41+18;canonical square class=18;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square := mul(11, 11) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square = 121 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL root x=11 in1..40;exact square=121 操作後 square=2*41+39;canonical square class=39;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square := mul(12, 12) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square = 144 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL root x=12 in1..40;exact square=144 操作後 square=3*41+21;canonical square class=21;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square := mul(13, 13) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square = 169 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL root x=13 in1..40;exact square=169 操作後 square=4*41+5;canonical square class=5;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square := mul(14, 14) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square = 196 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL root x=14 in1..40;exact square=196 操作後 square=4*41+32;canonical square class=32;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square := mul(15, 15) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square = 225 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL root x=15 in1..40;exact square=225 操作後 square=5*41+20;canonical square class=20;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square := mul(16, 16) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square = 256 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL root x=16 in1..40;exact square=256 操作後 square=6*41+10;canonical square class=10;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square := mul(17, 17) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square = 289 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL root x=17 in1..40;exact square=289 操作後 square=7*41+2;canonical square class=2;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square := mul(18, 18) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square = 324 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL root x=18 in1..40;exact square=324 操作後 square=7*41+37;canonical square class=37;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square := mul(19, 19) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square = 361 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL root x=19 in1..40;exact square=361 操作後 square=8*41+33;canonical square class=33;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square := mul(20, 20) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square = 400 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL root x=20 in1..40;exact square=400 操作後 square=9*41+31;canonical square class=31;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square := mul(21, 21) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square = 441 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 ORIGINAL root x=21 in1..40;exact square=441 操作後 square=10*41+31;canonical square class=31;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square := mul(22, 22) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square = 484 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL root x=22 in1..40;exact square=484 操作後 square=11*41+33;canonical square class=33;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root23 exact square := mul(23, 23) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root23 exact square = 529 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL root x=23 in1..40;exact square=529 操作後 square=12*41+37;canonical square class=37;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root24 exact square := mul(24, 24) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root24 exact square = 576 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ORIGINAL root x=24 in1..40;exact square=576 操作後 square=14*41+2;canonical square class=2;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root25 exact square := mul(25, 25) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root25 exact square = 625 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL root x=25 in1..40;exact square=625 操作後 square=15*41+10;canonical square class=10;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root26 exact square := mul(26, 26) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root26 exact square = 676 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL root x=26 in1..40;exact square=676 操作後 square=16*41+20;canonical square class=20;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root27 exact square := mul(27, 27) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root27 exact square = 729 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL root x=27 in1..40;exact square=729 操作後 square=17*41+32;canonical square class=32;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root28 exact square := mul(28, 28) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root28 exact square = 784 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL root x=28 in1..40;exact square=784 操作後 square=19*41+5;canonical square class=5;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root29 exact square := mul(29, 29) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root29 exact square = 841 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL root x=29 in1..40;exact square=841 操作後 square=20*41+21;canonical square class=21;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root30 exact square := mul(30, 30) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root30 exact square = 900 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ORIGINAL root x=30 in1..40;exact square=900 操作後 square=21*41+39;canonical square class=39;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root31 exact square := mul(31, 31) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root31 exact square = 961 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 ORIGINAL root x=31 in1..40;exact square=961 操作後 square=23*41+18;canonical square class=18;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root32 exact square := mul(32, 32) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root32 exact square = 1024 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL root x=32 in1..40;exact square=1024 操作後 square=24*41+40;canonical square class=40;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root33 exact square := mul(33, 33) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root33 exact square = 1089 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 ORIGINAL root x=33 in1..40;exact square=1089 操作後 square=26*41+23;canonical square class=23;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root34 exact square := mul(34, 34) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root34 exact square = 1156 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 ORIGINAL root x=34 in1..40;exact square=1156 操作後 square=28*41+8;canonical square class=8;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root35 exact square := mul(35, 35) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root35 exact square = 1225 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 ORIGINAL root x=35 in1..40;exact square=1225 操作後 square=29*41+36;canonical square class=36;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root36 exact square := mul(36, 36) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root36 exact square = 1296 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 ORIGINAL root x=36 in1..40;exact square=1296 操作後 square=31*41+25;canonical square class=25;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root37 exact square := mul(37, 37) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root37 exact square = 1369 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL root x=37 in1..40;exact square=1369 操作後 square=33*41+16;canonical square class=16;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root38 exact square := mul(38, 38) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root38 exact square = 1444 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 ORIGINAL root x=38 in1..40;exact square=1444 操作後 square=35*41+9;canonical square class=9;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root39 exact square := mul(39, 39) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root39 exact square = 1521 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 ORIGINAL root x=39 in1..40;exact square=1521 操作後 square=37*41+4;canonical square class=4;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root40 exact square := mul(40, 40) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root40 exact square = 1600 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 ORIGINAL root x=40 in1..40;exact square=1600 操作後 square=39*41+1;canonical square class=1;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 ORIGINAL prime=41;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 8], [8, 23], [9, 40], [10, 18], [11, 39], [12, 21], [13, 5], [14, 32], [15, 20], [16, 10], [17, 2], [18, 37], [19, 33], [20, 31], [21, 31], [22, 33], [23, 37], [24, 2], [25, 10], [26, 20], [27, 32], [28, 5], [29, 21], [30, 39], [31, 18], [32, 40], [33, 23], [34, 8], [35, 36], [36, 25], [37, 16], [38, 9], [39, 4], [40, 1]];nonzero square classes=[1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40] 操作後 for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1 條件：無 先分離zero類，不能因0也是平方便給+1；非零類再依完整square table分residue／nonresidue。這是定義與完整見證，不靠後續乘法性或Euler公式。 步驟識別與依賴規則：legendre_ZERO_then_residue_nonresidue_three_way_definition · 依賴：G001, S082 ## 逐步反向核對 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root40 exact square，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root39 exact square，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root38 exact square，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root37 exact square，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root36 exact square，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root35 exact square，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root34 exact square，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root33 exact square，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root32 exact square，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root31 exact square，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root30 exact square，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root29 exact square，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root28 exact square，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root27 exact square，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root26 exact square，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root25 exact square，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root24 exact square，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root23 exact square，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (41, [[0, 0], [1, 1], [2, 1], [3, -1], [4, 1], [5, 1], [6, -1], [7, -1], [8, 1], [9, 1], [10, 1], [11, -1], [12, -1], [13, -1], [14, -1], [15, -1], [16, 1], [17, -1], [18, 1], [19, -1], [20, 1], [21, 1], [22, -1], [23, 1], [24, -1], [25, 1], [26, -1], [27, -1], [28, -1], [29, -1], [30, -1], [31, 1], [32, 1], [33, 1], [34, -1], [35, -1], [36, 1], [37, 1], [38, -1], [39, 1], [40, 1]], 是, zero_residue_nonresidue_partition_is_complete) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b213410772eeaced2113d4fe19a2e192a8995c7aa5839c9f09e8229b46620899 - candidate record SHA-256: a3b5cb84e488b3405e39c0d7566c33b8cc4e457cf1accd60a5a75199cb1f84d4 - semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1 - question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0012.json)