# 第 23755 題：Legendre符號 [返回所在分頁 119](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/119/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0030) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0046-23755 · q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0030 ## 原題與已知條件 odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-residue-nonresidue-witness；資料={"prime":13,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-residue-nonresidue-witness；資料={"prime":13,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-legendre-symbol](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=legendre-residue-nonresidue-witness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[prime, a, normalized_class, nonzero_roots, Legendre_symbol, certificate] 條件：無 保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=13;ALL possible trial divisors through square root=[2, 3] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 1]];prime=是 條件：無 先完整核prime資格，不用Legendre或Euler分類反過來猜prime；這是modulus前提，不是a的平方性。 步驟識別與依賴規則：legendre_complete_prime_trial_not_Euler_classification · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL root x=1 in1..12;exact square=1 操作後 square=0*13+1;canonical square class=1;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL root x=2 in1..12;exact square=4 操作後 square=0*13+4;canonical square class=4;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL root x=3 in1..12;exact square=9 操作後 square=0*13+9;canonical square class=9;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL root x=4 in1..12;exact square=16 操作後 square=1*13+3;canonical square class=3;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL root x=5 in1..12;exact square=25 操作後 square=1*13+12;canonical square class=12;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL root x=6 in1..12;exact square=36 操作後 square=2*13+10;canonical square class=10;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square := mul(7, 7) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square = 49 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL root x=7 in1..12;exact square=49 操作後 square=3*13+10;canonical square class=10;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square := mul(8, 8) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square = 64 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL root x=8 in1..12;exact square=64 操作後 square=4*13+12;canonical square class=12;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square := mul(9, 9) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square = 81 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL root x=9 in1..12;exact square=81 操作後 square=6*13+3;canonical square class=3;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square := mul(10, 10) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square = 100 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL root x=10 in1..12;exact square=100 操作後 square=7*13+9;canonical square class=9;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square := mul(11, 11) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square = 121 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL root x=11 in1..12;exact square=121 操作後 square=9*13+4;canonical square class=4;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square := mul(12, 12) 操作後 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square = 144 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL root x=12 in1..12;exact square=144 操作後 square=11*13+1;canonical square class=1;ALL root indices retained 條件：無 每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。 步驟識別與依賴規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 ORIGINAL prime=13;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 3], [5, 12], [6, 10], [7, 10], [8, 12], [9, 3], [10, 9], [11, 4], [12, 1]];nonzero square classes=[1, 3, 4, 9, 10, 12] 操作後 for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1 條件：無 先分離zero類，不能因0也是平方便給+1；非零類再依完整square table分residue／nonresidue。這是定義與完整見證，不靠後續乘法性或Euler公式。 步驟識別與依賴規則：legendre_ZERO_then_residue_nonresidue_three_way_definition · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus := mul(0, 13) 操作後 Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(5, 0) 操作後 Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Legendre ORIGINAL candidate class:ORIGINAL a=5,positive modulus=13;actual quotient=0 操作後 normalized class=5;a=quotient*modulus+class;ORIGINAL a retained in output where declared 條件：無 負a亦保同一congruence class，以0到p−1表示；不把負餘數直接當標準類。 步驟識別與依賴規則：legendre_ORIGINAL_signed_class_Euclidean_normalization · 依賴：G001, S029 ## 逐步反向核對 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (13, 5, 5, [], -1, complete_square_table_has_no_root) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 023b833d60d025c1fb371aaa3a838691432d2b814eede6b75af8d0cb624999f2 - candidate record SHA-256: fcbb2dbd80518dc95ef77b775154d475f346928fe91239e385074aedd0fbf63b - semantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1 - question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0030.json)