# 第 24528 題：有限正規子群 [返回所在分頁 123](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/123/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0048-24528 · q-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-0053 ## 原題與已知條件 完整Cayley table、完整subgroup資格與forall g的normality責任。操作=normal-left-right-coset-audit；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"identity":0,"subset":[0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整Cayley table、完整subgroup資格與forall g的normality責任。操作=normal-left-right-coset-audit；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"identity":0,"subset":[0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-normal-subgroup](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-normal-subgroup/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [normal-left-right-coset-audit] 操作後 derived = [[subgroup, coset_rows, all_left_right_equal, certificate]] 條件：無 直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL group, 32, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]], 0] 操作後 derived = [8, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7]], 是] 條件：無 先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。 步驟識別與依賴規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL group, 8, FOR EVERY x,y,z in0..n-1] 操作後 derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 512, 是] 條件：無 矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。 步驟識別與依賴規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL group, 0] 操作後 derived = [[0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], [[0, 0, 0, 0], [1, 7, 0, 0], [2, 6, 0, 0], [3, 5, 0, 0], [4, 4, 0, 0], [5, 3, 0, 0], [6, 2, 0, 0], [7, 1, 0, 0]], 是] 條件：無 每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。 步驟識別與依賴規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, [0], 0] 操作後 derived = [是, [[0, 0, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是]], 是, 是] 條件：無 H非空且無重複；含identity、任兩元素乘積、每個逆元分別核全域，三者合取才可稱subgroup。order divisibility或有限性不足。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_identity_ALL_products_ALL_inverses_separate · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 0, [0], 0] 操作後 derived = [[[0, 0, 0, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 1, [0], 7] 操作後 derived = [[[0, 1, 7, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 2, [0], 6] 操作後 derived = [[[0, 2, 6, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 3, [0], 5] 操作後 derived = [[[0, 3, 5, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 4, [0], 4] 操作後 derived = [[[0, 4, 4, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 5, [0], 3] 操作後 derived = [[[0, 5, 3, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 6, [0], 2] 操作後 derived = [[[0, 6, 2, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Normality ORIGINAL H, 7, [0], 1] 操作後 derived = [[[0, 7, 1, 0]], [0], 是] 條件：無 按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [0, [0]] 操作後 derived = [[0], [0], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [1, [0]] 操作後 derived = [[1], [1], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [2, [0]] 操作後 derived = [[2], [2], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [3, [0]] 操作後 derived = [[3], [3], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [4, [0]] 操作後 derived = [[4], [4], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [5, [0]] 操作後 derived = [[5], [5], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [6, [0]] 操作後 derived = [[6], [6], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [7, [0]] 操作後 derived = [[7], [7], 是] 條件：無 gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。 步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [[0], 是, 是, 是] 操作後 derived = [gHg^-1=H iff gH=Hg for EVERY g] 條件：無 右乘g是雙射，將共軛集合等式右乘g即得gH=Hg；反向右乘g^-1。此處不進一步宣稱quotient乘法良定。 步驟識別與依賴規則：Normality_GENERAL_conjugates_iff_left_right_cosets · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([0], [[0, [0], [0], 是], [1, [1], [1], 是], [2, [2], [2], 是], [3, [3], [3], 是], [4, [4], [4], 是], [5, [5], [5], 是], [6, [6], [6], 是], [7, [7], [7], 是]], 是, left_and_right_cosets_agree_for_every_g_exactly_when_H_is_normal) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 54313915af045a5da52d6b02e66d800d4d1399ea351904fd39ef4283fa193c38 - candidate record SHA-256: 1dcdcb0c3c36f494f7052422792781ec3927b8e32ea35a175960ec5573a580c6 - semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0 - question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-0053.json)