# 第 24532 題：有限正規子群

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0048-24532 · q-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-0057



## 原題與已知條件

完整Cayley table、完整subgroup資格與forall g的normality責任。操作=normal-left-right-coset-audit；資料={"group_table":[[5,0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3]],"identity":1,"subset":[1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 完整Cayley table、完整subgroup資格與forall g的normality責任。操作=normal-left-right-coset-audit；資料={"group_table":[[5,0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3]],"identity":1,"subset":[1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-normal-subgroup](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-normal-subgroup/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [normal-left-right-coset-audit]

操作後

derived = [[subgroup, coset_rows, all_left_right_equal, certificate]]

條件：無

直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL group, 32, [[5, 0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 0], [2, 3, 4, 5, 0, 1], [3, 4, 5, 0, 1, 2], [4, 5, 0, 1, 2, 3]], 1]

操作後

derived = [6, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL group, 6, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是]], 216, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL group, 1]

操作後

derived = [[2, 1, 0, 5, 4, 3], [[0, 2, 1, 1], [1, 1, 1, 1], [2, 0, 1, 1], [3, 5, 1, 1], [4, 4, 1, 1], [5, 3, 1, 1]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, [1], 1]

操作後

derived = [是, [[1, 1, 1, 是]], 是, [[1, 1, 是]], 是, 是]

條件：無

H非空且無重複；含identity、任兩元素乘積、每個逆元分別核全域，三者合取才可稱subgroup。order divisibility或有限性不足。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_identity_ALL_products_ALL_inverses_separate · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 0, [1], 2]

操作後

derived = [[[1, 0, 2, 1]], [1], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 1, [1], 1]

操作後

derived = [[[1, 1, 1, 1]], [1], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 2, [1], 0]

操作後

derived = [[[1, 2, 0, 1]], [1], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 3, [1], 5]

操作後

derived = [[[1, 3, 5, 1]], [1], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 4, [1], 4]

操作後

derived = [[[1, 4, 4, 1]], [1], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 5, [1], 3]

操作後

derived = [[[1, 5, 3, 1]], [1], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [0, [1]]

操作後

derived = [[0], [0], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [1, [1]]

操作後

derived = [[1], [1], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [2, [1]]

操作後

derived = [[2], [2], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [3, [1]]

操作後

derived = [[3], [3], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [4, [1]]

操作後

derived = [[4], [4], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

source roles = [5, [1]]

操作後

derived = [[5], [5], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

source roles = [[1], 是, 是, 是]

操作後

derived = [gHg^-1=H iff gH=Hg for EVERY g]

條件：無

右乘g是雙射，將共軛集合等式右乘g即得gH=Hg；反向右乘g^-1。此處不進一步宣稱quotient乘法良定。

步驟識別與依賴規則：Normality_GENERAL_conjugates_iff_left_right_cosets · 依賴：G001, S017









## 逐步反向核對


- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([1], [[0, [0], [0], 是], [1, [1], [1], 是], [2, [2], [2], 是], [3, [3], [3], 是], [4, [4], [4], 是], [5, [5], [5], 是]], 是, left_and_right_cosets_agree_for_every_g_exactly_when_H_is_normal)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f83bf871a9869fdb5d3b94484ffd52bacad53331c621642fd0292d00b040d9cc
- candidate record SHA-256: c92aa36696ca8d7bcef2a131b01bf68208e60f80ec6a981f94e4c803feb87c1f
- semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0
- question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-0057.json)