# 第 24232 題：實指數函數 [返回所在分頁 122](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/122/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r02-real-exponential-function-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r02-real-exponential-function-0007) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0047-24232 · q-20261015-advance-20261113-r02-real-exponential-function-0007 ## 原題與已知條件 E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-finite-partial-sum；資料={"x":[7,8],"cutoff":11}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-finite-partial-sum；資料={"x":[7,8],"cutoff":11}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-exponential-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-exponential-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [exp-finite-partial-sum] 操作後 derived = [[x, cutoff, terms, partial_sums, finite_sum, infinite_value_certificate, boundary]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [0] 操作後 derived = [1] 條件：無 0!是空乘積1，不是0。 步驟識別與依賴規則：empty_factorial_is_multiplicative_unit · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (7/8)^0 操作後 Exp ORIGINAL x power0 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Exp term0 power over factorial := div(1, 1) 操作後 Exp term0 power over factorial = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Exp cumulative sum through0 := sum(0, 1) 操作後 Exp cumulative sum through0 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Exp term1 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term1 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 (7/8)^1 操作後 Exp ORIGINAL x power1 = 7/8 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Exp term1 power over factorial := div(7/8, 1) 操作後 Exp term1 power over factorial = 7/8 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Exp cumulative sum through1 := sum(1, 7/8) 操作後 Exp cumulative sum through1 = 15/8 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Exp term2 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term2 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Exp term2 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term2 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 (7/8)^2 操作後 Exp ORIGINAL x power2 = 49/64 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Exp term2 power over factorial := div(49/64, 2) 操作後 Exp term2 power over factorial = 49/128 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Exp cumulative sum through2 := sum(15/8, 49/128) 操作後 Exp cumulative sum through2 = 289/128 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Exp term3 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term3 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Exp term3 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term3 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Exp term3 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term3 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 (7/8)^3 操作後 Exp ORIGINAL x power3 = 343/512 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Exp term3 power over factorial := div(343/512, 6) 操作後 Exp term3 power over factorial = 343/3072 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Exp cumulative sum through3 := sum(289/128, 343/3072) 操作後 Exp cumulative sum through3 = 7279/3072 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Exp term4 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term4 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Exp term4 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term4 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Exp term4 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term4 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Exp term4 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term4 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 (7/8)^4 操作後 Exp ORIGINAL x power4 = 2401/4096 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Exp term4 power over factorial := div(2401/4096, 24) 操作後 Exp term4 power over factorial = 2401/98304 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Exp cumulative sum through4 := sum(7279/3072, 2401/98304) 操作後 Exp cumulative sum through4 = 78443/32768 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Exp term5 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term5 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Exp term5 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term5 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Exp term5 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term5 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Exp term5 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term5 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Exp term5 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term5 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 (7/8)^5 操作後 Exp ORIGINAL x power5 = 16807/32768 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Exp term5 power over factorial := div(16807/32768, 120) 操作後 Exp term5 power over factorial = 16807/3932160 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Exp cumulative sum through5 := sum(78443/32768, 16807/3932160) 操作後 Exp cumulative sum through5 = 9429967/3932160 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Exp term6 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term6 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Exp term6 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term6 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Exp term6 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term6 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Exp term6 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term6 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Exp term6 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term6 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Exp term6 factorial step6 := mul(120, 6) 操作後 Exp term6 factorial step6 = 720 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 (7/8)^6 操作後 Exp ORIGINAL x power6 = 117649/262144 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Exp term6 power over factorial := div(117649/262144, 720) 操作後 Exp term6 power over factorial = 117649/188743680 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Exp cumulative sum through6 := sum(9429967/3932160, 117649/188743680) 操作後 Exp cumulative sum through6 = 90551213/37748736 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Exp term7 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term7 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Exp term7 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term7 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Exp term7 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term7 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Exp term7 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term7 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Exp term7 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term7 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Exp term7 factorial step6 := mul(120, 6) 操作後 Exp term7 factorial step6 = 720 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Exp term7 factorial step7 := mul(720, 7) 操作後 Exp term7 factorial step7 = 5040 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 (7/8)^7 操作後 Exp ORIGINAL x power7 = 823543/2097152 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Exp term7 power over factorial := div(823543/2097152, 5040) 操作後 Exp term7 power over factorial = 117649/1509949440 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Exp cumulative sum through7 := sum(90551213/37748736, 117649/1509949440) 操作後 Exp cumulative sum through7 = 1207388723/503316480 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Exp term8 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term8 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Exp term8 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term8 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Exp term8 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term8 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Exp term8 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term8 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Exp term8 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term8 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Exp term8 factorial step6 := mul(120, 6) 操作後 Exp term8 factorial step6 = 720 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Exp term8 factorial step7 := mul(720, 7) 操作後 Exp term8 factorial step7 = 5040 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Exp term8 factorial step8 := mul(5040, 8) 操作後 Exp term8 factorial step8 = 40320 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 (7/8)^8 操作後 Exp ORIGINAL x power8 = 5764801/16777216 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Exp term8 power over factorial := div(5764801/16777216, 40320) 操作後 Exp term8 power over factorial = 823543/96636764160 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Exp cumulative sum through8 := sum(1207388723/503316480, 823543/96636764160) 操作後 Exp cumulative sum through8 = 231819458359/96636764160 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Exp term9 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term9 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Exp term9 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term9 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Exp term9 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term9 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Exp term9 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term9 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Exp term9 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term9 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Exp term9 factorial step6 := mul(120, 6) 操作後 Exp term9 factorial step6 = 720 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Exp term9 factorial step7 := mul(720, 7) 操作後 Exp term9 factorial step7 = 5040 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Exp term9 factorial step8 := mul(5040, 8) 操作後 Exp term9 factorial step8 = 40320 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Exp term9 factorial step9 := mul(40320, 9) 操作後 Exp term9 factorial step9 = 362880 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 (7/8)^9 操作後 Exp ORIGINAL x power9 = 40353607/134217728 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Exp term9 power over factorial := div(40353607/134217728, 362880) 操作後 Exp term9 power over factorial = 5764801/6957847019520 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Exp cumulative sum through9 := sum(231819458359/96636764160, 5764801/6957847019520) 操作後 Exp cumulative sum through9 = 16691006766649/6957847019520 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Exp term10 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term10 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Exp term10 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term10 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Exp term10 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term10 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Exp term10 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term10 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Exp term10 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term10 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Exp term10 factorial step6 := mul(120, 6) 操作後 Exp term10 factorial step6 = 720 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Exp term10 factorial step7 := mul(720, 7) 操作後 Exp term10 factorial step7 = 5040 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Exp term10 factorial step8 := mul(5040, 8) 操作後 Exp term10 factorial step8 = 40320 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Exp term10 factorial step9 := mul(40320, 9) 操作後 Exp term10 factorial step9 = 362880 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Exp term10 factorial step10 := mul(362880, 10) 操作後 Exp term10 factorial step10 = 3628800 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 (7/8)^10 操作後 Exp ORIGINAL x power10 = 282475249/1073741824 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Exp term10 power over factorial := div(282475249/1073741824, 3628800) 操作後 Exp term10 power over factorial = 40353607/556627761561600 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Exp cumulative sum through10 := sum(16691006766649/6957847019520, 40353607/556627761561600) 操作後 Exp cumulative sum through10 = 445093527228509/185542587187200 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Exp term11 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Exp term11 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Exp term11 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Exp term11 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 Exp term11 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Exp term11 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 Exp term11 factorial step4 := mul(6, 4) 操作後 Exp term11 factorial step4 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Exp term11 factorial step5 := mul(24, 5) 操作後 Exp term11 factorial step5 = 120 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 Exp term11 factorial step6 := mul(120, 6) 操作後 Exp term11 factorial step6 = 720 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Exp term11 factorial step7 := mul(720, 7) 操作後 Exp term11 factorial step7 = 5040 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 Exp term11 factorial step8 := mul(5040, 8) 操作後 Exp term11 factorial step8 = 40320 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Exp term11 factorial step9 := mul(40320, 9) 操作後 Exp term11 factorial step9 = 362880 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Exp term11 factorial step10 := mul(362880, 10) 操作後 Exp term11 factorial step10 = 3628800 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Exp term11 factorial step11 := mul(3628800, 11) 操作後 Exp term11 factorial step11 = 39916800 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · implies操作前 (7/8)^11 操作後 Exp ORIGINAL x power11 = 1977326743/8589934592 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Exp term11 power over factorial := div(1977326743/8589934592, 39916800) 操作後 Exp term11 power over factorial = 282475249/48983243017420800 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Exp cumulative sum through11 := sum(445093527228509/185542587187200, 282475249/48983243017420800) 操作後 Exp cumulative sum through11 = 4700187658832065/1959329720696832 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · implies操作前 source roles = [7/8, 11, [1, 7/8, 49/128, 343/3072, 2401/98304, 16807/3932160, 117649/188743680, 117649/1509949440, 823543/96636764160, 5764801/6957847019520, 40353607/556627761561600, 282475249/48983243017420800], [1, 15/8, 289/128, 7279/3072, 78443/32768, 9429967/3932160, 90551213/37748736, 1207388723/503316480, 231819458359/96636764160, 16691006766649/6957847019520, 445093527228509/185542587187200, 4700187658832065/1959329720696832]] 操作後 derived = [4700187658832065/1959329720696832, 否, finite sum is not a general infinite-value certificate] 條件：無 此計算只到cutoff且含0階。固定No不由有限和宣稱一般E(x) exact值；x=0時有限和可真等E(0)=1，因此不寫一律不等。 步驟識別與依賴規則：Exp_finite_sum_No_is_not_strict_inequality_at_every_x · 依賴：G001, S104 ## 逐步反向核對 - S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through11，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 power over factorial，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step11，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step10，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step9，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step8，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step7，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step6，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step5，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step4，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step3，不以小數近似替代。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step2，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term11 factorial step1，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through10，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 power over factorial，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step10，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step9，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step8，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step7，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step6，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step5，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step4，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step3，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step2，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term10 factorial step1，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through9，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 power over factorial，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step9，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step8，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step7，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step6，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step5，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step4，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step3，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step2，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term9 factorial step1，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through8，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 power over factorial，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step8，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step7，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step6，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step5，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step4，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step3，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step2，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term8 factorial step1，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through7，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 power over factorial，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step7，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step6，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step5，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step4，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step3，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step2，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term7 factorial step1，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through6，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 power over factorial，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 factorial step6，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 factorial step5，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 factorial step4，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 factorial step3，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 factorial step2，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term6 factorial step1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through5，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term5 power over factorial，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term5 factorial step5，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term5 factorial step4，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term5 factorial step3，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term5 factorial step2，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term5 factorial step1，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through4，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term4 power over factorial，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term4 factorial step4，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term4 factorial step3，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term4 factorial step2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term4 factorial step1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through3，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term3 power over factorial，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term3 factorial step3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term3 factorial step2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term3 factorial step1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term2 power over factorial，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term2 factorial step2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term2 factorial step1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term1 power over factorial，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term1 factorial step1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp cumulative sum through0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp term0 power over factorial，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (7/8, 11, [1, 7/8, 49/128, 343/3072, 2401/98304, 16807/3932160, 117649/188743680, 117649/1509949440, 823543/96636764160, 5764801/6957847019520, 40353607/556627761561600, 282475249/48983243017420800], [1, 15/8, 289/128, 7279/3072, 78443/32768, 9429967/3932160, 90551213/37748736, 1207388723/503316480, 231819458359/96636764160, 16691006766649/6957847019520, 445093527228509/185542587187200, 4700187658832065/1959329720696832], 4700187658832065/1959329720696832, 否, finite_partial_sum_is_not_the_infinite_exponential_value) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 695b945eb411f5c864c077247cd646aaa19fba81a41e8c4239410c6754160bb7 - candidate record SHA-256: bda7d2f621d5ac831e942ae54cb6de022e7fbd8cc8b7876519d2a82f2e02d060 - semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386 - question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r02-real-exponential-function-0007.json)