# 第 24649 題：解析普通生成函數 [返回所在分頁 124](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/124/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0049) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0048-24649 · q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0049 ## 原題與已知條件 A(x)=sum_n>=0 a_n x^n的完整sequence law與明示analytic domain。操作=ogf-finite-partial-sum；資料={"finite_support_coefficients":[24,48,72,96,120,144],"x":[1,4],"cutoff":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — A(x)=sum_n>=0 a_n x^n的完整sequence law與明示analytic domain。操作=ogf-finite-partial-sum；資料={"finite_support_coefficients":[24,48,72,96,120,144],"x":[1,4],"cutoff":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-analytic-ordinary-generating-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-analytic-ordinary-generating-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [ogf-finite-partial-sum] 操作後 derived = [[finite_support_coefficients, x, cutoff, term_rows, finite_sum, complete_support_included, certificate]] 條件：無 直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[24, 48, 72, 96, 120, 144]] 操作後 derived = [[24, 48, 72, 96, 120, 144], a_n=0 for EVERY n beyond this finite list] 條件：無 只修canonical尾零，不改原參數；至少保留一個係數。這是整條sequence含零尾的定義，不是觀察到的有限prefix，也不是EGF的a_n/n!。 步驟識別與依賴規則：OGF_complete_finite_support_zero_tail_NOT_unknown_prefix · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (1/4)^0 操作後 OGF ORIGINAL x power0 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 OGF term0 coefficient times power := mul(24, 1) 操作後 OGF term0 coefficient times power = 24 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 OGF partial sum through0 := sum(0, 24) 操作後 OGF partial sum through0 = 24 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 (1/4)^1 操作後 OGF ORIGINAL x power1 = 1/4 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 OGF term1 coefficient times power := mul(48, 1/4) 操作後 OGF term1 coefficient times power = 12 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 OGF partial sum through1 := sum(24, 12) 操作後 OGF partial sum through1 = 36 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 (1/4)^2 操作後 OGF ORIGINAL x power2 = 1/16 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 OGF term2 coefficient times power := mul(72, 1/16) 操作後 OGF term2 coefficient times power = 9/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 OGF partial sum through2 := sum(36, 9/2) 操作後 OGF partial sum through2 = 81/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 (1/4)^3 操作後 OGF ORIGINAL x power3 = 1/64 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 OGF term3 coefficient times power := mul(96, 1/64) 操作後 OGF term3 coefficient times power = 3/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 OGF partial sum through3 := sum(81/2, 3/2) 操作後 OGF partial sum through3 = 42 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 (1/4)^4 操作後 OGF ORIGINAL x power4 = 1/256 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 OGF term4 coefficient times power := mul(120, 1/256) 操作後 OGF term4 coefficient times power = 15/32 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 OGF partial sum through4 := sum(42, 15/32) 操作後 OGF partial sum through4 = 1359/32 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [[24, 48, 72, 96, 120, 144], 1/4, 4] 操作後 derived = [1359/32, 否] 條件：無 coverage旗標比較最後非零support與cutoff，不測單點值偶然相等；x=0或相消時未含完整support仍可能數值相同。 步驟識別與依賴規則：OGF_support_coverage_NOT_accidental_pointwise_equality · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF partial sum through4，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF term4 coefficient times power，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF partial sum through3，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF term3 coefficient times power，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF partial sum through2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF term2 coefficient times power，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF partial sum through1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF term1 coefficient times power，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF partial sum through0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF term0 coefficient times power，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([24, 48, 72, 96, 120, 144], 1/4, 4, [[0, 24, 24], [1, 48, 12], [2, 72, 9/2], [3, 96, 3/2], [4, 120, 15/32]], 1359/32, 否, finite_partial_sum_equals_the_full_OGF_only_after_all_nonzero_finite_support_coefficients_are_included) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a6a58bac4424d6f63438c0af1ee835ea44cc6f33059ab2548677e8f84ac407f3 - candidate record SHA-256: 66b2f66ece8a5907046424c30eb4bb97b2556f582f9dfd29c7c2d24a35bebe6d - semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0 - question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0049.json)