# 第 24651 題：解析普通生成函數 [返回所在分頁 124](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/124/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0051) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0048-24651 · q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0051 ## 原題與已知條件 A(x)=sum_n>=0 a_n x^n的完整sequence law與明示analytic domain。操作=ogf-geometric-closed-form；資料={"ratio":[1,2],"x":[1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — A(x)=sum_n>=0 a_n x^n的完整sequence law與明示analytic domain。操作=ogf-geometric-closed-form；資料={"ratio":[1,2],"x":[1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-analytic-ordinary-generating-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-analytic-ordinary-generating-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [ogf-geometric-closed-form] 操作後 derived = [[coefficient_law, x, ratio_times_x, analytic_value, domain_certificate, certificate]] 條件：無 直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 OGF ORIGINAL ratio times x := mul(1/2, 1/2) 操作後 OGF ORIGINAL ratio times x = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 OGF geometric denominator := sub(1, 1/4) 操作後 OGF geometric denominator = 3/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 OGF geometric analytic value := div(1, 3/4) 操作後 OGF geometric analytic value = 4/3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [1/2, 1/2, 1/4] 操作後 derived = [是, 4/3, for EVERY N,S_N=(1-z^(N+1))/(1-z);z^(N+1)->0] 條件：無 整條a_n=r^n已明示；|rx|<1使分母非零並令幾何尾趨0，才可把形式恆等式解讀為analytic equality。域外分母非零本身不夠。 步驟識別與依賴規則：OGF_WHOLE_geometric_limit_with_analytic_domain · 依賴：G001, S004 ## 逐步反向核對 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF geometric analytic value，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF geometric denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF ORIGINAL ratio times x，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (a_n=(1/2)^n_for_every_n>=0, 1/2, 1/4, 4/3, 是, A(x)=1/(1-rx)_only_on_absolute_rx_less_than_one) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8a896b791b9aad257ccf1ca8eb978b95fc1cbb91738c30a464fc1f01cff610fc - candidate record SHA-256: 25b3ec45c4da3f940b00f78f786b984560445e5abb4180cb0614f5556c9666e3 - semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0 - question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0051.json)