# 第 24683 題：解析普通生成函數 [返回所在分頁 124](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/124/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0083) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0048-24683 · q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0083 ## 原題與已知條件 A(x)=sum_n>=0 a_n x^n的完整sequence law與明示analytic domain。操作=ogf-recurrence-boundary-terms；資料={"a0":8,"a1":9,"x":[1,5]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — A(x)=sum_n>=0 a_n x^n的完整sequence law與明示analytic domain。操作=ogf-recurrence-boundary-terms；資料={"a0":8,"a1":9,"x":[1,5]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-analytic-ordinary-generating-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-analytic-ordinary-generating-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [ogf-recurrence-boundary-terms] 操作後 derived = [[a0, a1, coefficient_preview, x, numerator, denominator, analytic_value, certificate]] 條件：無 直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient2 := sum(8, 9) 操作後 OGF complete recurrence coefficient2 = 17 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient3 := sum(9, 17) 操作後 OGF complete recurrence coefficient3 = 26 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient4 := sum(17, 26) 操作後 OGF complete recurrence coefficient4 = 43 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient5 := sum(26, 43) 操作後 OGF complete recurrence coefficient5 = 69 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient6 := sum(43, 69) 操作後 OGF complete recurrence coefficient6 = 112 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient7 := sum(69, 112) 操作後 OGF complete recurrence coefficient7 = 181 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient8 := sum(112, 181) 操作後 OGF complete recurrence coefficient8 = 293 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 OGF complete recurrence coefficient9 := sum(181, 293) 操作後 OGF complete recurrence coefficient9 = 474 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 OGF initial a1 minus a0 boundary := sub(9, 8) 操作後 OGF initial a1 minus a0 boundary = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 OGF initial boundary times x := mul(1, 1/5) 操作後 OGF initial boundary times x = 1/5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 OGF numerator with BOTH initial terms := sum(8, 1/5) 操作後 OGF numerator with BOTH initial terms = 41/5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 (1/5)^2 操作後 OGF original x square = 1/25 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 OGF denominator one minus x := sub(1, 1/5) 操作後 OGF denominator one minus x = 4/5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 OGF denominator subtract x squared := sub(4/5, 1/25) 操作後 OGF denominator subtract x squared = 19/25 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 OGF recurrence analytic closed value := div(41/5, 19/25) 操作後 OGF recurrence analytic closed value = 205/19 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，分母先核非零，不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [8, 9, 1/5, [8, 9, 17, 26, 43, 69, 112, 181, 293, 474]] 操作後 derived = [41/5, 19/25, 205/19, (1-x-x^2)A=a0+(a1-a0)x] 條件：無 十項只是完整recurrence的預覽。取C=max(|a0|,|a1|)，歸納|a_n|<=C*2^n；|x|<1/2給絕對收斂而可移項重排。n0留下a0、n1留下(a1−a0)x，n>=2全消。分母>=1−|x|−|x|²>1/4。這是充分domain，不宣稱每組初值的exact radius或termwise derivative。 步驟識別與依賴規則：OGF_ALL_n_recurrence_convergence_and_reindex_boundary_terms · 依賴：G001, S016 ## 逐步反向核對 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF recurrence analytic closed value，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF denominator subtract x squared，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF denominator one minus x，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF numerator with BOTH initial terms，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF initial boundary times x，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF initial a1 minus a0 boundary，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient9，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient8，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient7，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient6，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient5，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient4，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient3，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 OGF complete recurrence coefficient2，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (8, 9, [8, 9, 17, 26, 43, 69, 112, 181, 293, 474], 1/5, 41/5, 19/25, 205/19, A(x)=(a0+(a1-a0)x)/(1-x-x^2)_with_initial_boundary_terms_preserved) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 62382902c1cd2facea0176d7adbc149d83a41f8c7f51343ce7e4680bb0ba58e1 - candidate record SHA-256: 538041a3fc5c0c2523f17086725bad24b65de383f7239c35286c75bb125535c2 - semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0 - question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r03-analytic-ordinary-generating-function-0083.json)