# 第 24129 題：Euler二次剩餘判準

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0047-24129 · q-20261015-advance-20261113-r04-euler-criterion-quadratic-residue-0004



## 原題與已知條件

odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-qualification；資料={"prime":11,"a":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-qualification；資料={"prime":11,"a":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-euler-criterion-quadratic-residue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-criterion-quadratic-residue/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [eulercrit-domain-qualification]

操作後

derived = [[prime, a, normalized_class, odd_prime, nonzero_class, certificate]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [11]

操作後

derived = [[[2, 1], [3, 2]], 是]

條件：無

合數必有不大於平方根的因數，故完整試除驗模數資格；這不由平方性或Euler等式猜測。

步驟識別與依賴規則：Euler_modulus_primality_complete_trial · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus := mul(0, 11)

操作後

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple := sub(4, 0)

操作後

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple = 4

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [4, 11, 0]

操作後

derived = [4, 是]

條件：無

a=qp+r、0<=r<p保負a同一類；原a在指定欄位保留。

步驟識別與依賴規則：Euler_Euclidean_class_before_hypothesis · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [11, 4, 4]

操作後

derived = [是, 是]

條件：無

先獨立驗odd prime與非零類；平方表先定義Legendre，再比較冪。

步驟識別與依賴規則：Euler_odd_prime_nonzero_qualified · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Euler square root candidate1 := mul(1, 1)

操作後

Euler square root candidate1 = 1

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Euler square root candidate2 := mul(2, 2)

操作後

Euler square root candidate2 = 4

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Euler square root candidate3 := mul(3, 3)

操作後

Euler square root candidate3 = 9

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Euler square root candidate4 := mul(4, 4)

操作後

Euler square root candidate4 = 16

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Euler square root candidate5 := mul(5, 5)

操作後

Euler square root candidate5 = 25

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Euler square root candidate6 := mul(6, 6)

操作後

Euler square root candidate6 = 36

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Euler square root candidate7 := mul(7, 7)

操作後

Euler square root candidate7 = 49

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Euler square root candidate8 := mul(8, 8)

操作後

Euler square root candidate8 = 64

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

Euler square root candidate9 := mul(9, 9)

操作後

Euler square root candidate9 = 81

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

Euler square root candidate10 := mul(10, 10)

操作後

Euler square root candidate10 = 100

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

source roles = [11, 4]

操作後

derived = [[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 5], [5, 3], [6, 3], [7, 5], [8, 9], [9, 4], [10, 1]], [2, 9], 1]

條件：無

全部1至p−1逐平方列舉，根存在為+1、全無為−1；此路徑沒有用Euler判準算Legendre。

步驟識別與依賴規則：Euler_ALL_nonzero_square_table_defines_Legendre · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Euler binary power accumulate0 := mul(1, 4)

操作後

Euler binary power accumulate0 = 4

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Euler binary power square0 := mul(4, 4)

操作後

Euler binary power square0 = 16

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

source roles = [0, [1, 4, 5], 11, 4, 5]

操作後

derived = [4, 16, 4, 5, 2]

條件：無

每步保acc*base^remaining同餘原a^((p−1)/2)；奇數先乘，平方底數、整除指數，直到0。與全部square表是不同計算。

步驟識別與依賴規則：Euler_repeated_squaring_original_exponent_invariant · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

Euler binary power square1 := mul(5, 5)

操作後

Euler binary power square1 = 25

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

source roles = [1, [4, 5, 2], 11, 4, 5]

操作後

derived = [null, 25, 4, 3, 1]

條件：無

每步保acc*base^remaining同餘原a^((p−1)/2)；奇數先乘，平方底數、整除指數，直到0。與全部square表是不同計算。

步驟識別與依賴規則：Euler_repeated_squaring_original_exponent_invariant · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

Euler binary power accumulate2 := mul(4, 3)

操作後

Euler binary power accumulate2 = 12

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

Euler binary power square2 := mul(3, 3)

操作後

Euler binary power square2 = 9

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

source roles = [2, [4, 3, 1], 11, 4, 5]

操作後

derived = [12, 9, 1, 9, 0]

條件：無

每步保acc*base^remaining同餘原a^((p−1)/2)；奇數先乘，平方底數、整除指數，直到0。與全部square表是不同計算。

步驟識別與依賴規則：Euler_repeated_squaring_original_exponent_invariant · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

source roles = [11, [2, 9], 1, 1]

操作後

derived = [1, 是, one finite instance is not a general theorem proof]

條件：無

p−1是模p的−1代表，不是整數p−1等於−1。指定instance兩個獨立算法吻合，不把這一表當一般定理的證明。

步驟識別與依賴規則：Euler_decode_p_minus1_and_instance_only_comparison · 依賴：G001, S025









## 逐步反向核對


- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square2，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate2，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square1，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square0，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate0，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate10，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate9，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate8，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate7，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate6，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate5，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate4，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate3，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate2，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate1，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed quotient times modulus，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(11, 4, 4, 是, 是, odd_prime_and_nonzero_modular_class_qualified)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: ff8281e9b3edc37bc87bd71401cd204246cd35ed916bc69237e94ac0f889931a
- candidate record SHA-256: 8c380c9875dc1162bfe94da6ab697eb63e1eb15707ba9d54d5c3602a04be2717
- semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386
- question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r04-euler-criterion-quadratic-residue-0004.json)