# 第 24487 題：梯度向量 [返回所在分頁 123](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/123/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0012) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0047-24487 · q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0012 ## 原題與已知條件 standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-symbolic-polynomial；資料={"dimension":3,"terms":[[12,[2,1,0]],[13,[0,1,1]],[1,[0,0,0]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-symbolic-polynomial；資料={"dimension":3,"terms":[[12,[2,1,0]],[13,[0,1,1]],[1,[0,0,0]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-vector](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [gradient-symbolic-polynomial] 操作後 derived = [[dimension, canonical_terms, coordinate_derivative_polynomials, certificate]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 12) 操作後 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [0, 3, [2, 1, 0], 12] 操作後 derived = [12] 條件：無 同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。 步驟識別與依賴規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 13) 操作後 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 13 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [1, 3, [0, 1, 1], 13] 操作後 derived = [13] 條件：無 同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。 步驟識別與依賴規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 := sum(0, 1) 操作後 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [2, 3, [0, 0, 0], 1] 操作後 derived = [1] 條件：無 同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。 步驟識別與依賴規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [[[12, [2, 1, 0]], [13, [0, 1, 1]], [1, [0, 0, 0]]]] 操作後 derived = [3, [[1, [0, 0, 0]], [13, [0, 1, 1]], [12, [2, 1, 0]]]] 條件：無 按來源English canonical(exponents)序，不是數值tuple序；完整相消的零多項式可得空canonical清單。 步驟識別與依賴規則：Gradient_canonical_nonzero_polynomial_terms_source_order · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [0, 0, [0, 0, 0], 1] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [0, 1, [0, 1, 1], 13] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient := mul(12, 2) 操作後 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Gradient axis0 derivative combine2 := sum(0, 24) 操作後 Gradient axis0 derivative combine2 = 24 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [0, 2, [2, 1, 0], 12, 2] 操作後 derived = [[1, 1, 0], 24] 條件：無 偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。 步驟識別與依賴規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [1, 0, [0, 0, 0], 1] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient := mul(13, 1) 操作後 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient = 13 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Gradient axis1 derivative combine1 := sum(0, 13) 操作後 Gradient axis1 derivative combine1 = 13 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [1, 1, [0, 1, 1], 13, 1] 操作後 derived = [[0, 0, 1], 13] 條件：無 偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。 步驟識別與依賴規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient := mul(12, 1) 操作後 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Gradient axis1 derivative combine2 := sum(0, 12) 操作後 Gradient axis1 derivative combine2 = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [1, 2, [2, 1, 0], 12, 1] 操作後 derived = [[2, 0, 0], 12] 條件：無 偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。 步驟識別與依賴規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [2, 0, [0, 0, 0], 1] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Gradient axis2 term1 power-rule coefficient := mul(13, 1) 操作後 Gradient axis2 term1 power-rule coefficient = 13 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Gradient axis2 derivative combine1 := sum(0, 13) 操作後 Gradient axis2 derivative combine1 = 13 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [2, 1, [0, 1, 1], 13, 1] 操作後 derived = [[0, 1, 0], 13] 條件：無 偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。 步驟識別與依賴規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [2, 2, [2, 1, 0], 12] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [3, [[1, [0, 0, 0]], [13, [0, 1, 1]], [12, [2, 1, 0]]]] 操作後 derived = [[[[24, [1, 1, 0]]], [[13, [0, 0, 1]], [12, [2, 0, 0]]], [[13, [0, 1, 0]]]]] 條件：無 梯度是全部d個有序偏導多項式；多項式可微，故此Euclidean偏導向量表示微分。不是單方向取樣。 步驟識別與依賴規則：Gradient_ALL_ordered_coordinate_polynomials · 依賴：G001, S025 ## 逐步反向核對 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 derivative combine1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine2，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (3, [[1, [0, 0, 0]], [13, [0, 1, 1]], [12, [2, 1, 0]]], [[[24, [1, 1, 0]]], [[13, [0, 0, 1]], [12, [2, 0, 0]]], [[13, [0, 1, 0]]]], standard_Euclidean_coordinate_order_preserved) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 04174a0b82ff0ae6b8512f0b6391e25736cadb9a4e48dc8437997df473dad3bb - candidate record SHA-256: a7004e55f801fe8b5317da872aa01f7170927783a1b5e9bdf037e0cdac37c521 - semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386 - question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0012.json)