# 第 24452 題：梯度向量 [返回所在分頁 123](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/123/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-foundations/#q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0052) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0047-24452 · q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0052 ## 原題與已知條件 standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-stationary-audit；資料={"dimension":2,"terms":[[2,[2,0]],[3,[0,2]]],"point":[0,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-stationary-audit；資料={"dimension":2,"terms":[[2,[2,0]],[3,[0,2]]],"point":[0,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-vector](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [gradient-stationary-audit] 操作後 derived = [[dimension, point, gradient_values, stationary, extremum_certificate, boundary]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 2) 操作後 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [0, 2, [2, 0], 2] 操作後 derived = [2] 條件：無 同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。 步驟識別與依賴規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 3) 操作後 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 3 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [1, 2, [0, 2], 3] 操作後 derived = [3] 條件：無 同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。 步驟識別與依賴規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[[2, [2, 0]], [3, [0, 2]]]] 操作後 derived = [2, [[3, [0, 2]], [2, [2, 0]]]] 條件：無 按來源English canonical(exponents)序，不是數值tuple序；完整相消的零多項式可得空canonical清單。 步驟識別與依賴規則：Gradient_canonical_nonzero_polynomial_terms_source_order · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [0, 0, [0, 2], 3] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Gradient axis0 term1 power-rule coefficient := mul(2, 2) 操作後 Gradient axis0 term1 power-rule coefficient = 4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Gradient axis0 derivative combine1 := sum(0, 4) 操作後 Gradient axis0 derivative combine1 = 4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [0, 1, [2, 0], 2, 2] 操作後 derived = [[1, 0], 4] 條件：無 偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。 步驟識別與依賴規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Gradient axis1 term0 power-rule coefficient := mul(3, 2) 操作後 Gradient axis1 term0 power-rule coefficient = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Gradient axis1 derivative combine0 := sum(0, 6) 操作後 Gradient axis1 derivative combine0 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [1, 0, [0, 2], 3, 2] 操作後 derived = [[0, 1], 6] 條件：無 偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。 步驟識別與依賴規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [1, 1, [2, 0], 2] 操作後 derived = [0] 條件：無 該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。 步驟識別與依賴規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [2, [[3, [0, 2]], [2, [2, 0]]]] 操作後 derived = [[[[4, [1, 0]]], [[6, [0, 1]]]]] 條件：無 梯度是全部d個有序偏導多項式；多項式可微，故此Euclidean偏導向量表示微分。不是單方向取樣。 步驟識別與依賴規則：Gradient_ALL_ordered_coordinate_polynomials · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 (0)^1 操作後 Gradient axis0 term0 coordinate0 power = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor := mul(4, 0) 操作後 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 (0)^0 操作後 Gradient axis0 term0 coordinate1 power = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor := mul(0, 1) 操作後 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Gradient axis0 cumulative term0 := sum(0, 0) 操作後 Gradient axis0 cumulative term0 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 (0)^0 操作後 Gradient axis1 term0 coordinate0 power = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor := mul(6, 1) 操作後 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 (0)^1 操作後 Gradient axis1 term0 coordinate1 power = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor := mul(6, 0) 操作後 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Gradient axis1 cumulative term0 := sum(0, 0) 操作後 Gradient axis1 cumulative term0 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [2, [0, 0], [[[4, [1, 0]]], [[6, [0, 1]]]]] 操作後 derived = [[0, 0], 是, 否] 條件：無 全部分量同一point代值才判stationary；零梯度不自動給extremum證書，No亦不否定常數函數等特例真有極值。 步驟識別與依賴規則：Gradient_SAME_point_all_coordinates_stationary_not_extremum · 依賴：G001, S025 ## 逐步反向核對 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 cumulative term0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 power-rule coefficient，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, [0, 0], [0, 0], 是, 否, gradient_zero_means_stationary_not_necessarily_extremum) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a4a6540ef5155cef1d1d67d9b080ee0649190caa53d3de8abe2613643b023445 - candidate record SHA-256: 5d9c4c8104892f74f4ad417b44ea776210cc99bc10310a67cf7031d530caf2d8 - semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386 - question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0052.json)