# 第 24877 題：有限群共軛類

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0048-24877 · q-20261015-advance-20261114-r03-finite-group-conjugacy-class-0077



## 原題與已知條件

由完整Cayley table導出全部conjugation action與orbits。操作=conjugacy-singleton-nonconjugate-boundary；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,0,5,6,7,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[3,0,1,2,7,4,5,6],[4,7,6,5,0,3,2,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[6,5,4,7,2,1,0,3],[7,6,5,4,3,2,1,0]],"identity":0,"element":0,"other":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 由完整Cayley table導出全部conjugation action與orbits。操作=conjugacy-singleton-nonconjugate-boundary；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,0,5,6,7,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[3,0,1,2,7,4,5,6],[4,7,6,5,0,3,2,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[6,5,4,7,2,1,0,3],[7,6,5,4,3,2,1,0]],"identity":0,"element":0,"other":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-group-conjugacy-class](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-conjugacy-class/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [conjugacy-singleton-nonconjugate-boundary]

操作後

derived = [[element, singleton_class, commutes_with_all, other, conjugate_to_other, nonconjugate_certificate, boundary]]

條件：無

直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [Conjugacy ORIGINAL group, 64, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 0, 5, 6, 7, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [3, 0, 1, 2, 7, 4, 5, 6], [4, 7, 6, 5, 0, 3, 2, 1], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [6, 5, 4, 7, 2, 1, 0, 3], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]], 0]

操作後

derived = [8, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [Conjugacy ORIGINAL group, 8, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 512, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [Conjugacy ORIGINAL group, 0]

操作後

derived = [[0, 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7], [[0, 0, 0, 0], [1, 3, 0, 0], [2, 2, 0, 0], [3, 1, 0, 0], [4, 4, 0, 0], [5, 5, 0, 0], [6, 6, 0, 0], [7, 7, 0, 0]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [0, 0, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [1, 3, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[1, 2, 3, 0, 5, 6, 7, 4], [0, 1, 2, 3, 6, 7, 4, 5]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [2, 2, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [3, 1, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[3, 0, 1, 2, 7, 4, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 6, 7, 4, 5]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [4, 4, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[4, 7, 6, 5, 0, 3, 2, 1], [0, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [5, 5, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [0, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 7]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [6, 6, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[6, 5, 4, 7, 2, 1, 0, 3], [0, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [7, 7, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0], [0, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 7]]

條件：無

對每個原元素x先算gx再乘g^-1，形成完整acting row；這是element action，不是conjugate subgroup。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_EVERY_g_EVERY_element_exact_action_row · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [0, 8, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 1, 2, 3, 6, 7, 4, 5], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 1, 2, 3, 6, 7, 4, 5], [0, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5], [0, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 7], [0, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5], [0, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 7]]]

操作後

derived = [是, [[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 是, (gh)x(gh)^-1=g(hxh^-1)g^-1]

條件：無

逐全部g,h,x核composition，亦由(gh)^-1=h^-1g^-1及結合律推同一公式；identity另驗。不是僅列出一個action表就假定axioms。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_ALL_action_axioms_and_GENERAL_algebra · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 1, 2, 3, 6, 7, 4, 5], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 1, 2, 3, 6, 7, 4, 5], [0, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5], [0, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 7], [0, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5], [0, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 7]]]

操作後

derived = [[[0], [1, 3], [2], [4, 6], [5, 7]], 8, 8, 是]

條件：無

e給自反、g^-1給反向、群乘積給傳遞；故所有完整orbits相等或不交並覆蓋G。按來源coset-like列表排序不代表它們是cosets；不引centralizer/class-size或類方程。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_complete_orbits_equal_or_disjoint_partition · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [0]

操作後

derived = [[[0, 0], [1, 0], [2, 0], [3, 0], [4, 0], [5, 0], [6, 0], [7, 0]], [0]]

條件：無

保每個acting g的像，再去重成排序的完整class。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_actual_element_ALL_images_not_coset · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [0, 4, [0]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]], 是, 否, 是]

條件：無

gxg^-1=x右乘g等價gx=xg，故singleton恰當全g commute。other真不在完整orbit才可給nonconjugate證書，不聲稱所有class單點。

步驟識別與依賴規則：Conjugacy_singleton_iff_ALL_commute_and_actual_other_outside · 依賴：G001, S015









## 逐步反向核對


- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(0, [0], 是, 4, 否, 是, singleton_class_iff_commutes_with_every_g_and_other_outside_class_is_nonconjugate_without_class_size_formula)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 4b1c2b8c61ac0f8817327db9444cc8bed85e3fcca38ca901cc8929c45937ee9e
- candidate record SHA-256: 2e8b2adc3537e3e460070fc4984232ad70ff30a89e614fa49fd9c016a6f3b7d3
- semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0
- question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261114-r03-finite-group-conjugacy-class-0077.json)