# 第 25208 題：標準常態分布 [返回所在分頁 127](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/127/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261114-r04-standard-normal-distribution-foundations/#q-20261015-advance-20261114-r04-standard-normal-distribution-0058) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0049-25208 · q-20261015-advance-20261114-r04-standard-normal-distribution-0058 ## 原題與已知條件 standard normal的Gaussian density、evenness與declared normalization責任。操作=normaldist-cdf-symmetry；資料={"x":-5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — standard normal的Gaussian density、evenness與declared normalization責任。操作=normaldist-cdf-symmetry；資料={"x":-5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-standard-normal-distribution](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-standard-normal-distribution/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [normaldist-cdf-symmetry] 操作後 derived = [[x, CDF_symmetry_identity, CDF_at_zero, declared_symmetry_certificate, boundary]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Gaussian ORIGINAL x squared := mul(-5, -5) 操作後 Gaussian ORIGINAL x squared = 25 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Gaussian square times exact half := mul(25, 1/2) 操作後 Gaussian square times exact half = 25/2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [-5, -25/2] 操作後 derived = [(2*pi)^(-1/2)*exp(-25/2), phi(x)=(2*pi)^(-1/2)*exp(-x^2/2), normalization is a NAMED Gaussian integral premise] 條件：無 精確有理數只算指數−x²/2，exp與常數因子保符號。全Gaussian law與normalization是明示前提，不由一個density值證成。 步驟識別與依賴規則：Gaussian_WHOLE_declared_density_symbolic_value_named_normalization · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [-5, 5, even continuous density and declared integral1] 操作後 derived = [Phi(5)=1-Phi(-5), Phi(0)=1/2, 是] 條件：無 以u=−t把∫從−infinity至−x轉成∫從x至infinity，evenness給同density；continuous law無點質量，總積分1才可寫1−Phi(x)。x0兩半相等得1/2，不宣稱一般非零x的elementary exact值。 步驟識別與依賴規則：Gaussian_CDF_symmetry_integral_substitution_USES_named_total1 · 依賴：G001, S004 ## 逐步反向核對 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gaussian square times exact half，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gaussian ORIGINAL x squared，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-5, Phi(5)=1-Phi(-5), Phi(0)=1/2, 是, declared_normalization_plus_even_density_implies_CDF_symmetry_but_no_nonzero_elementary_CDF_value) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f65c052c2938e62ca67ce04729f84ad286784d8299711f82d744db24601ca902 - candidate record SHA-256: 7f3b45e41e8061f1558005e4c8e7fa0b5f3a3ddfb0b6fa69431013fcaba63ec5 - semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3 - question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261114-r04-standard-normal-distribution-0058.json)