# 第 25131 題：估計量均方誤差 [返回所在分頁 126](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/126/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261114-r05-estimator-mean-squared-error-foundations/#q-20261015-advance-20261114-r05-estimator-mean-squared-error-0081) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0049-25131 · q-20261015-advance-20261114-r05-estimator-mean-squared-error-0081 ## 原題與已知條件 scalar theta下完整finite sampling law的exact expected squared error。操作=mse-observed-unbiased-boundary；資料={"theta":-7,"support":[-8,-7,-6],"probabilities":[[1,4],[1,2],[1,4]],"observed":-8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — scalar theta下完整finite sampling law的exact expected squared error。操作=mse-observed-unbiased-boundary；資料={"theta":-7,"support":[-8,-7,-6],"probabilities":[[1,4],[1,2],[1,4]],"observed":-8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-estimator-mean-squared-error](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-mean-squared-error/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [mse-observed-unbiased-boundary] 操作後 derived = [[theta, observed, observed_squared_error, mean, unbiased, MSE, observed_error_equals_MSE, unbiased_with_positive_MSE, observed_or_unbiased_consistency_claim, boundary]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative0 := sum(0, 1/4) 操作後 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative0 = 1/4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative1 := sum(1/4, 1/2) 操作後 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative1 = 3/4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative2 := sum(3/4, 1/4) 操作後 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative2 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [MSE ORIGINAL single theta, -7, [-8, -7, -6], [[1, 4], [1, 2], [1, 4]]] 操作後 derived = [[[-8, 1/4], [-7, 1/2], [-6, 1/4]], 1] 條件：無 本題固定同一P_theta；機率原序先核非負與總和1，再將value/mass一起按數值排。零mass列保留，不另重正規化，也不將T輸出當參數下標。 步驟識別與依賴規則：MSE_same_theta_complete_law_numeric_sorted_ALIGNED_null_rows · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta exact mean product0 := mul(-8, 1/4) 操作後 MSE ORIGINAL single theta exact mean product0 = -2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative0 := sum(0, -2) 操作後 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative0 = -2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta exact mean product1 := mul(-7, 1/2) 操作後 MSE ORIGINAL single theta exact mean product1 = -7/2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative1 := sum(-2, -7/2) 操作後 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative1 = -11/2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta exact mean product2 := mul(-6, 1/4) 操作後 MSE ORIGINAL single theta exact mean product2 = -3/2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative2 := sum(-11/2, -3/2) 操作後 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative2 = -7 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta error row0 := sub(-8, -7) 操作後 MSE ORIGINAL single theta error row0 = -1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta squared error row0 := mul(-1, -1) 操作後 MSE ORIGINAL single theta squared error row0 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta weighted error row0 := mul(1/4, 1) 操作後 MSE ORIGINAL single theta weighted error row0 = 1/4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative0 := sum(0, 1/4) 操作後 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative0 = 1/4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta error row1 := sub(-7, -7) 操作後 MSE ORIGINAL single theta error row1 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta squared error row1 := mul(0, 0) 操作後 MSE ORIGINAL single theta squared error row1 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta weighted error row1 := mul(1/2, 0) 操作後 MSE ORIGINAL single theta weighted error row1 = 0 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative1 := sum(1/4, 0) 操作後 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative1 = 1/4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta error row2 := sub(-6, -7) 操作後 MSE ORIGINAL single theta error row2 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta squared error row2 := mul(1, 1) 操作後 MSE ORIGINAL single theta squared error row2 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta weighted error row2 := mul(1/4, 1) 操作後 MSE ORIGINAL single theta weighted error row2 = 1/4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative2 := sum(1/4, 1/4) 操作後 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative2 = 1/2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [MSE ORIGINAL single theta, -7, [[-8, 1/4, 1, 1/4], [-7, 1/2, 0, 0], [-6, 1/4, 1, 1/4]]] 操作後 derived = [-7, 1/2, 否, 否, 是] 條件：無 MSE直接加全部加權平方誤差，不用bias-variance分解。各項非負，和0 iff 每個正mass處誤差0；null值可不同。兩邊都False時iff仍True。 步驟識別與依賴規則：MSE_nonnegative_terms_zero_IFF_POSITIVE_mass_equality · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 MSE ORIGINAL observed minus theta := sub(-8, -7) 操作後 MSE ORIGINAL observed minus theta = -1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 MSE ORIGINAL one observed squared error := mul(-1, -1) 操作後 MSE ORIGINAL one observed squared error = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值，不以小數近似或單次觀察替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [-7, -8, 1, -7, 1/2] 操作後 derived = [是, 否, 是, 否] 條件：無 單一observed loss可偶然等於MSE，也可來自列出的null值；必須仍依全law算risk。E[T]=theta不推出risk0，此處沒有n-indexed漸近law，固定No只不提供consistency證書。 步驟識別與依賴規則：MSE_observed_loss_unbiasedness_risk_and_consistency_separate · 依賴：G001, S026 ## 逐步反向核對 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL one observed squared error，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL observed minus theta，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative2，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta weighted error row2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta squared error row2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta error row2，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta weighted error row1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta squared error row1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta error row1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta MSE cumulative0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta weighted error row0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta squared error row0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta error row0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta exact mean product2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta exact mean product1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta exact mean cumulative0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta exact mean product0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MSE ORIGINAL single theta ORIGINAL probability cumulative0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-7, -8, 1, -7, 是, 1/2, 否, 是, 否, one_observed_squared_error_is_not_MSE_and_unbiased_does_not_imply_zero_MSE_or_consistency) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: dfbac74d9a1e83d9a3878f9fa7bc6242b2d5d1b3f3ae762ddebc41eb8f99db04 - candidate record SHA-256: ca2ac02bdc8134b943ca2647129362377973248230b4d0479560223f0caf3563 - semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3 - question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261114-r05-estimator-mean-squared-error-0081.json)