# 第 25472 題：頂點覆蓋 [返回所在分頁 128](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/128/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261114-r07-vertex-cover-foundations/#q-20261015-advance-20261114-r07-vertex-cover-0097) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0049-25472 · q-20261015-advance-20261114-r07-vertex-cover-0097 ## 原題與已知條件 有限simple undirected graph的全部edges與candidate subset完整核對。操作=vcover-minimal-vs-minimum-boundary；資料={"vertices":["c0","l0_0","l0_1","l0_2","c1","l1_0","l1_1","l1_2","l1_3","l1_4","l1_5"],"edges":[["c0","l0_0"],["c0","l0_1"],["c0","l0_2"],["c1","l1_0"],["c1","l1_1"],["c1","l1_2"],["c1","l1_3"],["c1","l1_4"],["c1","l1_5"]],"candidate":["l0_0","l0_1","l0_2","l1_0","l1_1","l1_2","l1_3","l1_4","l1_5"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限simple undirected graph的全部edges與candidate subset完整核對。操作=vcover-minimal-vs-minimum-boundary；資料={"vertices":["c0","l0_0","l0_1","l0_2","c1","l1_0","l1_1","l1_2","l1_3","l1_4","l1_5"],"edges":[["c0","l0_0"],["c0","l0_1"],["c0","l0_2"],["c1","l1_0"],["c1","l1_1"],["c1","l1_2"],["c1","l1_3"],["c1","l1_4"],["c1","l1_5"]],"candidate":["l0_0","l0_1","l0_2","l1_0","l1_1","l1_2","l1_3","l1_4","l1_5"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-vertex-cover](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vertex-cover/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [vcover-minimal-vs-minimum-boundary] 操作後 derived = [[candidate, deletion_rows, inclusion_minimal, minimum_size, minimum, minimality_tests_agree, certificate]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；LP三種mode雖同為6欄，角色仍由原mode選，不由答案形狀猜。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[c0, l0_0, l0_1, l0_2, c1, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[c0, l0_0], [c0, l0_1], [c0, l0_2], [c1, l1_0], [c1, l1_1], [c1, l1_2], [c1, l1_3], [c1, l1_4], [c1, l1_5]], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[c0, c1, l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[c0, l0_0], [c0, l0_1], [c0, l0_2], [c1, l1_0], [c1, l1_1], [c1, l1_2], [c1, l1_3], [c1, l1_4], [c1, l1_5]], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 條件：無 carrier非空且至多12，edge端點依JS UTF16<排，再按來源English canonical排序；loop或反向重複edge拒絕，不把圖改成有向或edge cover。 步驟識別與依賴規則：Vcover_complete_simple_undirected_graph_UTF16_then_English_order · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [0, [c0, l0_0], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [1, [c0, l0_1], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [2, [c0, l0_2], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [3, [c1, l1_0], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [4, [c1, l1_1], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [5, [c1, l1_2], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [6, [c1, l1_3], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [7, [c1, l1_4], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [8, [c1, l1_5], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[否, 是], 是] 條件：無 這條edge至少一個endpoint被選才covered，逐完整edge表核對，不用頂點數猜測。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EVERY_edge_selected_endpoint_disjunction · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [[[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]]] 操作後 derived = [是, null, []] 條件：無 全邊合取，首uncovered edge保來源canonical次序；沒有則null，不用False代null。isolated點沒有責任edge，故可選可不選。 步驟識別與依賴規則：Vcover_COMPLETE_edge_conjunction_FIRST_uncovered_or_NULL · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [l0_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 否], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [l0_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 否], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [l0_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 否], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [l1_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 否], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [l1_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 否], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [l1_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_3, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 否], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [l1_3, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_4, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 否], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [l1_4, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_5], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 否], [[c1, l1_5], 是]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [l1_5, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5]] 操作後 derived = [[l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4], [[[c0, l0_0], 是], [[c0, l0_1], 是], [[c0, l0_2], 是], [[c1, l1_0], 是], [[c1, l1_1], 是], [[c1, l1_2], 是], [[c1, l1_3], 是], [[c1, l1_4], 是], [[c1, l1_5], 否]], 否] 條件：無 每次只刪這一點並重新核全部edges，不能把別次刪除結果拿來沿用。 步驟識別與依賴規則：Vcover_EACH_single_vertex_deletion_complete_edge_test · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [[c0, c1, l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[c0, l0_0], [c0, l0_1], [c0, l0_2], [c1, l1_0], [c1, l1_1], [c1, l1_2], [c1, l1_3], [c1, l1_4], [c1, l1_5]], [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[l0_0, [l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l0_1, [l0_0, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l0_2, [l0_0, l0_1, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_3, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_4, l1_5], 否], [l1_4, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_5], 否], [l1_5, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4], 否]]] 操作後 derived = [2048, [0, 0, 1, 9, 37, 90, 141, 147, 102, 46, 11, 1], [3, [c0, c1]], 是, 2, 否, 否] 條件：無 對全部2^n subsets按大小計cover個數；較小size個數全0給下界，實際witness給達到。因cover對superset單調，若任一proper subset是cover，必有一次single deletion仍cover，故逐刪測試恰驗inclusion-minimal；不等於minimum。最後只比較兩旗標，兩者False也可相等。 步驟識別與依賴規則：Vcover_ALL_subsets_cardinality_counts_minimum_witness_and_GENERAL_minimality · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], [[l0_0, [l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l0_1, [l0_0, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l0_2, [l0_0, l0_1, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_0, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_1, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_2, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_2, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_3, l1_4, l1_5], 否], [l1_3, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_4, l1_5], 否], [l1_4, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_5], 否], [l1_5, [l0_0, l0_1, l0_2, l1_0, l1_1, l1_2, l1_3, l1_4], 否]], 是, 2, 否, 否, inclusion_minimal_means_no_single_deletion_while_minimum_compares_all_covers) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7b3cd440721b76d24f469acd56096ec424add11fd9777ff9ec45a0cfa9e9d994 - candidate record SHA-256: 9366ae6cd28a58cb486c24325dda887214af86cd175a09d87035ebacada1e850 - semantic review receipt SHA-256: 6212b8b0b3b273f3a514e26ebd17d7e81219c56a8f47e40047ee2b6bf01d1ba3 - question-first witness SHA-256: f32a23d5e1b66c7794c60def58741bcdfacff24f3cdfc9bc48109c8f71543cf3 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261114-r07-vertex-cover-0097.json)