# 第 25702 題：有限群第一同構定理 [返回所在分頁 129](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/129/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-foundations/#q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0002) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0050-25702 · q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0002 ## 原題與已知條件 完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-complete-qualification；資料={"source_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"target_identity":0,"mapping":[0,1,2,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-complete-qualification；資料={"source_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"target_identity":0,"mapping":[0,1,2,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [iso1-complete-qualification] 操作後 derived = [[source_order, target_order, mapping, homomorphism, first_failed_pair_or_null, kernel, image, normal_kernel, image_subgroup, certificate]] 條件：無 直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, [[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], 0] 操作後 derived = [4, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3]], 是] 條件：無 完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。 步驟識別與依賴規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, 4, 0] 操作後 derived = [[[是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是]], 64, [0, 3, 2, 1]] 條件：無 每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。 步驟識別與依賴規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, [[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]], 0] 操作後 derived = [4, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3]], 是] 條件：無 完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。 步驟識別與依賴規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, 4, 0] 操作後 derived = [[[是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是]], 64, [0, 3, 2, 1]] 條件：無 每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。 步驟識別與依賴規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Iso1 ACTUAL kernel, [0], 0] 操作後 derived = [是, [[0, 0, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是]], 是, 是, [[0, [0], 是], [1, [0], 是], [2, [0], 是], [3, [0], 是]], 是] 條件：無 含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Iso1 ACTUAL image, [0, 1, 2, 3], 0] 操作後 derived = [是, [[0, 0, 0, 是], [0, 1, 1, 是], [0, 2, 2, 是], [0, 3, 3, 是], [1, 0, 1, 是], [1, 1, 2, 是], [1, 2, 3, 是], [1, 3, 0, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 1, 3, 是], [2, 2, 0, 是], [2, 3, 1, 是], [3, 0, 3, 是], [3, 1, 0, 是], [3, 2, 1, 是], [3, 3, 2, 是]], 是, [[0, 0, 是], [1, 3, 是], [2, 2, 是], [3, 1, 是]], 是, 是, [[0, [0, 1, 2, 3], 是], [1, [0, 1, 2, 3], 是], [2, [0, 1, 2, 3], 是], [3, [0, 1, 2, 3], 是]], 是] 條件：無 含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。 步驟識別與依賴規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], 0, 0] 操作後 derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 1, 1, 是], [0, 2, 2, 2, 是], [0, 3, 3, 3, 是], [1, 0, 1, 1, 是], [1, 1, 2, 2, 是], [1, 2, 3, 3, 是], [1, 3, 0, 0, 是], [2, 0, 2, 2, 是], [2, 1, 3, 3, 是], [2, 2, 0, 0, 是], [2, 3, 1, 1, 是], [3, 0, 3, 3, 是], [3, 1, 0, 0, 是], [3, 2, 1, 1, 是], [3, 3, 2, 2, 是]], 是, null, [0], [0, 1, 2, 3], 是, 是] 條件：無 全pair驗同態，並取完整target identity preimage與image。qualification允許bad map且property按實際核，可能同態False而kernel normal／image subgroup True；空kernel不補identity fallback。 步驟識別與依賴規則：Iso1_ALL_product_laws_ACTUAL_kernel_image_properties_before_theorem · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, 4, [0, 1, 2, 3], 是, null, [0], [0, 1, 2, 3], 是, 是, homomorphism_kernel_image_and_quotient_qualifications_precede_the_theorem) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ff0f17d61a1880ed0e9662f1efd3f400d22656e9a507763bba605dd0a0fb5467 - candidate record SHA-256: fd066aa1794ea135fc8cf1b84fdea59ecb55566b116860cc1b7878e4638e7e6c - semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82 - question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0002.json)