# 第 25781 題：有限群第一同構定理

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0050-25781 · q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0031



## 原題與已知條件

完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-induced-well-definedness；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"target_identity":0,"mapping":[0,3,1,4,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 完整有限群、total homomorphism、kernel、image與quotient cosets的第一同構責任。操作=iso1-induced-well-definedness；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"target_identity":0,"mapping":[0,3,1,4,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [iso1-induced-well-definedness]

操作後

derived = [[kernel, cosets, representative_image_rows, well_defined, certificate]]

條件：無

直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, [[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], 0]

操作後

derived = [5, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4]], 是]

條件：無

完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。

步驟識別與依賴規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL SOURCE, 5, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是]], 125, [0, 4, 3, 2, 1]]

條件：無

每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。

步驟識別與依賴規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, [[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], 0]

操作後

derived = [5, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4]], 是]

條件：無

完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。

步驟識別與依賴規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [Iso1 ORIGINAL TARGET, 5, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是]], 125, [0, 4, 3, 2, 1]]

條件：無

每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。

步驟識別與依賴規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [Iso1 ACTUAL kernel, [0], 0]

操作後

derived = [是, [[0, 0, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是]], 是, 是, [[0, [0], 是], [1, [0], 是], [2, [0], 是], [3, [0], 是], [4, [0], 是]], 是]

條件：無

含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [Iso1 ACTUAL image, [0, 1, 2, 3, 4], 0]

操作後

derived = [是, [[0, 0, 0, 是], [0, 1, 1, 是], [0, 2, 2, 是], [0, 3, 3, 是], [0, 4, 4, 是], [1, 0, 1, 是], [1, 1, 2, 是], [1, 2, 3, 是], [1, 3, 4, 是], [1, 4, 0, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 1, 3, 是], [2, 2, 4, 是], [2, 3, 0, 是], [2, 4, 1, 是], [3, 0, 3, 是], [3, 1, 4, 是], [3, 2, 0, 是], [3, 3, 1, 是], [3, 4, 2, 是], [4, 0, 4, 是], [4, 1, 0, 是], [4, 2, 1, 是], [4, 3, 2, 是], [4, 4, 3, 是]], 是, [[0, 0, 是], [1, 4, 是], [2, 3, 是], [3, 2, 是], [4, 1, 是]], 是, 是, [[0, [0, 1, 2, 3, 4], 是], [1, [0, 1, 2, 3, 4], 是], [2, [0, 1, 2, 3, 4], 是], [3, [0, 1, 2, 3, 4], 是], [4, [0, 1, 2, 3, 4], 是]], 是]

條件：無

含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。

步驟識別與依賴規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [[0, 3, 1, 4, 2], 0, 0]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 3, 3, 是], [0, 2, 1, 1, 是], [0, 3, 4, 4, 是], [0, 4, 2, 2, 是], [1, 0, 3, 3, 是], [1, 1, 1, 1, 是], [1, 2, 4, 4, 是], [1, 3, 2, 2, 是], [1, 4, 0, 0, 是], [2, 0, 1, 1, 是], [2, 1, 4, 4, 是], [2, 2, 2, 2, 是], [2, 3, 0, 0, 是], [2, 4, 3, 3, 是], [3, 0, 4, 4, 是], [3, 1, 2, 2, 是], [3, 2, 0, 0, 是], [3, 3, 3, 3, 是], [3, 4, 1, 1, 是], [4, 0, 2, 2, 是], [4, 1, 0, 0, 是], [4, 2, 3, 3, 是], [4, 3, 1, 1, 是], [4, 4, 4, 4, 是]], 是, null, [0], [0, 1, 2, 3, 4], 是, 是]

條件：無

全pair驗同態，並取完整target identity preimage與image。qualification允許bad map且property按實際核，可能同態False而kernel normal／image subgroup True；空kernel不補identity fallback。

步驟識別與依賴規則：Iso1_ALL_product_laws_ACTUAL_kernel_image_properties_before_theorem · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [[0], 是, [0, 3, 1, 4, 2]]

操作後

derived = [[[0], [1], [2], [3], [4]], [0, 1, 2, 3, 4], [[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], [[0, 0, [0], 是], [0, 1, [1], 是], [0, 2, [2], 是], [0, 3, [3], 是], [0, 4, [4], 是], [1, 0, [1], 是], [1, 1, [2], 是], [1, 2, [3], 是], [1, 3, [4], 是], [1, 4, [0], 是], [2, 0, [2], 是], [2, 1, [3], 是], [2, 2, [4], 是], [2, 3, [0], 是], [2, 4, [1], 是], [3, 0, [3], 是], [3, 1, [4], 是], [3, 2, [0], 是], [3, 3, [1], 是], [3, 4, [2], 是], [4, 0, [4], 是], [4, 1, [0], 是], [4, 2, [1], 是], [4, 3, [2], 是], [4, 4, [3], 是]], [[0, [0], [0], 是], [1, [1], [3], 是], [2, [2], [1], 是], [3, [3], [4], 是], [4, [4], [2], 是]], 是]

條件：無

kernel normal使(ah)(bk)=ab(b^-1hb)k∈abK，逐全部代表元驗product coset相同；同一coset的每個f(g)也須同值才定義bar_f。carrier是coset SETS而非首代表元。

步驟識別與依賴規則：Iso1_full_LEFT_coset_quotient_ALL_products_and_representative_images · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [[[0], [1], [2], [3], [4]], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 3, 1, 4, 2]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 3, 3, 是], [0, 2, 1, 1, 是], [0, 3, 4, 4, 是], [0, 4, 2, 2, 是], [1, 0, 3, 3, 是], [1, 1, 1, 1, 是], [1, 2, 4, 4, 是], [1, 3, 2, 2, 是], [1, 4, 0, 0, 是], [2, 0, 1, 1, 是], [2, 1, 4, 4, 是], [2, 2, 2, 2, 是], [2, 3, 0, 0, 是], [2, 4, 3, 3, 是], [3, 0, 4, 4, 是], [3, 1, 2, 2, 是], [3, 2, 0, 0, 是], [3, 3, 3, 3, 是], [3, 4, 1, 1, 是], [4, 0, 2, 2, 是], [4, 1, 0, 0, 是], [4, 2, 3, 3, 是], [4, 3, 1, 1, 是], [4, 4, 4, 4, 是]], 是, 是, 是, 是, 是]

條件：無

bar_f保乘法由f(ab)=f(a)f(b)；若f(a)=f(b)，a^-1b∈K故同coset，給injective。任意image值f(g)由gK命中，給onto IMAGE；不由同cardinality代替這些責任，也不自動onto整個target。

步驟識別與依賴規則：Iso1_ALL_induced_product_pairs_injective_and_onto_IMAGE_separate · 依賴：G001, S009









## 逐步反向核對


- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([0], [[0], [1], [2], [3], [4]], [[0, [0], [0], 是], [1, [1], [3], 是], [2, [2], [1], 是], [3, [3], [4], 是], [4, [4], [2], 是]], 是, bar_f_of_g_kernel_equals_f_of_g_for_every_representative)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f464ee0bbe6449718c995294b48b47c23b9c8b54d4ae465f39cb44455f82e34e
- candidate record SHA-256: 5e486c605843b1c982df20a1c1464a9a82a8a62f67500514db8bcd7f6a716001
- semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82
- question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261115-r01-first-isomorphism-theorem-finite-groups-0031.json)