# 第 25513 題：偏誤－變異數分解 [返回所在分頁 128](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/128/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261115-r03-bias-variance-decomposition-foundations/#q-20261015-advance-20261115-r03-bias-variance-decomposition-0088) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0050-25513 · q-20261015-advance-20261115-r03-bias-variance-decomposition-0088 ## 原題與已知條件 逐theta完整finite sampling law上的exact mean、bias、variance與MSE。操作=biasvar-biased-unbiased-boundary；資料={"theta":0,"support":[-1,0,1],"probabilities":[[1,4],[1,2],[1,4]],"observed":-1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 逐theta完整finite sampling law上的exact mean、bias、variance與MSE。操作=biasvar-biased-unbiased-boundary；資料={"theta":0,"support":[-1,0,1],"probabilities":[[1,4],[1,2],[1,4]],"observed":-1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bias-variance-decomposition](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bias-variance-decomposition/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [biasvar-biased-unbiased-boundary] 操作後 derived = [[theta, observed, observed_squared_error, bias, unbiased, variance, MSE, variance_comparison_holds, unbiased_and_zero_MSE, consistency_claim, boundary]] 條件：無 直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta ORIGINAL mass sum := sum(1/4, 1/2, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta ORIGINAL mass sum = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Biasvar ORIGINAL single theta, 0, [-1, 0, 1], [[1, 4], [1, 2], [1, 4]]] 操作後 derived = [[(-1, 1/4), (0, 1/2), (1, 1/4)], 1] 條件：無 先核同一P_theta全law，原序mass非負總和1，再連value/mass一起數值排序；null rows保留。與前一MSE節點不同，這裡明示要證bias-variance分解。 步驟識別與依賴規則：Biasvar_complete_SAME_law_numeric_sorted_ALIGNED_null_rows · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta mean product0 := mul(-1, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta mean product0 = -1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta mean product1 := mul(0, 1/2) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta mean product1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta mean product2 := mul(1, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta mean product2 = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta mean sum := sum(-1/4, 0, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta mean sum = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta bias mean minus theta := sub(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta bias mean minus theta = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation0 := sub(-1, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation0 = -1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered square0 := mul(-1, -1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered square0 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term0 := mul(1/4, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term0 = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation1 := sub(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered square1 := mul(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered square1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term1 := mul(1/2, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation2 := sub(1, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation2 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered square2 := mul(1, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered square2 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term2 := mul(1/4, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term2 = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta variance sum := sum(1/4, 0, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta variance sum = 1/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta theta error0 := sub(-1, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta theta error0 = -1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta theta square0 := mul(-1, -1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta theta square0 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term0 := mul(1/4, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term0 = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta theta error1 := sub(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta theta error1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta theta square1 := mul(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta theta square1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term1 := mul(1/2, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta theta error2 := sub(1, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta theta error2 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta theta square2 := mul(1, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta theta square2 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term2 := mul(1/4, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term2 = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE sum := sum(1/4, 0, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE sum = 1/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product0 := mul(1/4, -1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product0 = -1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product1 := mul(1/2, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product2 := mul(1/4, 1) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product2 = 1/4 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean sum := sum(-1/4, 0, 1/4) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean sum = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta bias times centered mean := mul(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta bias times centered mean = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta cross twice inner := mul(2, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta cross twice inner = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta squared bias := mul(0, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta squared bias = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL single theta variance plus squared bias := sum(1/2, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL single theta variance plus squared bias = 1/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 source roles = [Biasvar ORIGINAL single theta, 0, 0, 0, [(-1, 1/4), (0, 1/2), (1, 1/4)]] 操作後 derived = [[[-1, 1/4, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1], [0, 1/2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1/4, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1]], 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 是] 條件：無 逐值T−theta=(T−mean)+bias，平方成centered²+2*bias*centered+bias²，再按同一mass加權。E[T−mean]=E[T]−mean*1=0使cross消失，不要求bias0或每個deviation0；mass1保bias²。逐點cross是額外精確教學量，不套原source未執行的新profile界。 步驟識別與依賴規則：Biasvar_EVERY_value_square_expansion_and_GENERAL_cross_cancellation · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL observed minus theta := sub(-1, 0) 操作後 Biasvar ORIGINAL observed minus theta = -1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Biasvar ORIGINAL observed square := mul(-1, -1) 操作後 Biasvar ORIGINAL observed square = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [-1, 1, 0, 1/2, 1/2] 操作後 derived = [是, 是, 否, 否] 條件：無 unbiased只把bias²去掉，給MSE=variance，未給variance0或consistency；biased時MSE>=variance。observed loss另算，可能偶合MSE但不是它的定義。 步驟識別與依賴規則：Biasvar_observed_error_unbiased_variance_risk_consistency_separate · 依賴：G001, S039 ## 逐步反向核對 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL observed square，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL observed minus theta，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta variance plus squared bias，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta squared bias，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta cross twice inner，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta bias times centered mean，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean sum，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product2，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product1，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered mean product0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term2，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta theta square2，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta theta error2，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta theta square1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta theta error1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta direct MSE term0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta theta square0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta theta error0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta variance sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered square2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered square1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta variance weighted term0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered square0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta centered deviation0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta bias mean minus theta，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta mean sum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta mean product2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta mean product1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta mean product0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Biasvar ORIGINAL single theta ORIGINAL mass sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (0, -1, 1, 0, 是, 1/2, 1/2, 是, 否, 否, unbiased_only_gives_MSE_equals_variance_not_zero_MSE_or_consistency_and_observed_error_is_not_MSE) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 98f84e47a65375aaf90b84f47ee9a17819679dcd04bfac21a45bc2d496280b61 - candidate record SHA-256: 0ff622d82f164966346ec757adf28513bdb12a302780c983348b02260eac61c0 - semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82 - question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261115-r03-bias-variance-decomposition-0088.json)