# 第 25888 題：線性規劃對偶 [返回所在分頁 130](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/130/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261115-r04-linear-program-duality-foundations/#q-20261015-advance-20261115-r04-linear-program-duality-0063) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0050-25888 · q-20261015-advance-20261115-r04-linear-program-duality-0063 ## 原題與已知條件 固定max/≤/nonnegative primal與min/≥/nonnegative dual convention。操作=lpdual-zero-gap-certificate；資料={"A":[[1,0],[0,1]],"b":[14,15],"c":[1,3],"x":[14,15],"y":[1,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 固定max/≤/nonnegative primal與min/≥/nonnegative dual convention。操作=lpdual-zero-gap-certificate；資料={"A":[[1,0],[0,1]],"b":[14,15],"c":[1,3],"x":[14,15],"y":[1,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-program-duality](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-program-duality/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [lpdual-zero-gap-certificate] 操作後 derived = [[x, y, Ax, transpose_A_y, primal_feasible, dual_feasible, primal_objective, middle_value, dual_objective, first_inequality, second_inequality, zero_gap, primal_optimal, dual_optimal, certificate]] 條件：無 直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[[1, 0], [0, 1]], [14, 15], [1, 3]] 操作後 derived = [2, 2, [[1, 0], [0, 1]], primal:max_cTx_Ax_le_b_x_ge_0, dual:min_bTy_ATy_ge_c_y_ge_0, 是] 條件：無 同一慣例max/<=/x>=0對min/>=/y>=0；dual有m個變數與n條限制。逐位置轉置，signed coefficients合法，維度合格不保可行。 步驟識別與依賴規則：LPdual_fixed_conventions_complete_transpose_and_dimensions · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL Ax row0 product0 := mul(1, 14) 操作後 LPdual ORIGINAL Ax row0 product0 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL Ax row0 product1 := mul(0, 15) 操作後 LPdual ORIGINAL Ax row0 product1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL Ax row0 sum := sum(14, 0) 操作後 LPdual ORIGINAL Ax row0 sum = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL Ax row1 product0 := mul(0, 14) 操作後 LPdual ORIGINAL Ax row1 product0 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL Ax row1 product1 := mul(1, 15) 操作後 LPdual ORIGINAL Ax row1 product1 = 15 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL Ax row1 sum := sum(0, 15) 操作後 LPdual ORIGINAL Ax row1 sum = 15 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL ATy row0 product0 := mul(1, 1) 操作後 LPdual ORIGINAL ATy row0 product0 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL ATy row0 product1 := mul(0, 3) 操作後 LPdual ORIGINAL ATy row0 product1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL ATy row0 sum := sum(1, 0) 操作後 LPdual ORIGINAL ATy row0 sum = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL ATy row1 product0 := mul(0, 1) 操作後 LPdual ORIGINAL ATy row1 product0 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL ATy row1 product1 := mul(1, 3) 操作後 LPdual ORIGINAL ATy row1 product1 = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL ATy row1 sum := sum(0, 3) 操作後 LPdual ORIGINAL ATy row1 sum = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL primal objective product0 := mul(1, 14) 操作後 LPdual ORIGINAL primal objective product0 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL primal objective product1 := mul(3, 15) 操作後 LPdual ORIGINAL primal objective product1 = 45 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL primal objective sum := sum(14, 45) 操作後 LPdual ORIGINAL primal objective sum = 59 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL middle yTAx product0 := mul(1, 14) 操作後 LPdual ORIGINAL middle yTAx product0 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL middle yTAx product1 := mul(3, 15) 操作後 LPdual ORIGINAL middle yTAx product1 = 45 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL middle yTAx sum := sum(14, 45) 操作後 LPdual ORIGINAL middle yTAx sum = 59 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL dual objective product0 := mul(14, 1) 操作後 LPdual ORIGINAL dual objective product0 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL dual objective product1 := mul(15, 3) 操作後 LPdual ORIGINAL dual objective product1 = 45 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 LPdual ORIGINAL dual objective sum := sum(14, 45) 操作後 LPdual ORIGINAL dual objective sum = 59 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [[14, 15], [1, 3], [14, 15], [1, 3], [14, 15], [1, 3]] 操作後 derived = [是, 是, 59, 59, 59, [[0, 0, 1, 1, 14, 14], [0, 1, 1, 0, 15, 0], [1, 0, 3, 0, 14, 0], [1, 1, 3, 1, 15, 45]], 59, [[0, 14, 0, 0], [1, 15, 0, 0]], 0, [[0, 1, 0, 0], [1, 3, 0, 0]], 0, 是, 是, 是] 條件：無 兩feasibility分開核。雙和展開證(ATy)Tx=yTAx；第一gap=sum x_j((ATy)_j−c_j)，第二gap=sum y_i(b_i−(Ax)_i)。雙方可行才由各非負因子推cTx<=middle<=bTy；若缺前提，數字不等式可能巧合，不當一般證書。教學residual不另套source未執行的新數值界。 步驟識別與依賴規則：LPdual_ALL_feasibilities_exact_pairings_residuals_and_conditional_weak_chain · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [是, 是, 59, 59] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 任意可行primal z由weak duality有cTz<=bTy=cTx，故x達max；任意可行dual u有bTu>=cTx=bTy，故y達min。這用全稱競爭點的界，不只是兩個數字相等，不證一般strong-duality存在性。 步驟識別與依賴規則：LPdual_ZERO_gap_plus_BOTH_feasible_GENERAL_competitor_bounds · 依賴：G001, S024 ## 逐步反向核對 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL dual objective sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL dual objective product1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL dual objective product0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL middle yTAx sum，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL middle yTAx product1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL middle yTAx product0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL primal objective sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL primal objective product1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL primal objective product0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row1 sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row1 product1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row1 product0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row0 sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row0 product1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL ATy row0 product0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row1 sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row1 product1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row1 product0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row0 product1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 LPdual ORIGINAL Ax row0 product0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([14, 15], [1, 3], [14, 15], [1, 3], 是, 是, 59, 59, 59, 是, 是, 是, 是, 是, feasible_equal_objectives_certify_both_points_optimal_by_weak_duality) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b2d36210ec2d51de04f12a07dc8967e26fe7d0e9d51573a115e4f5d49e0909d1 - candidate record SHA-256: 85539b54826ee3083f494d044fd69ac704c979576293465196759d11b50005b2 - semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82 - question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261115-r04-linear-program-duality-0063.json)