# 第 25914 題：最大流最小割定理 [返回所在分頁 130](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/130/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0014) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0050-25914 · q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0014 ## 原題與已知條件 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-complete-cut-enumeration；資料={"vertices":["s","a0","a1","a2","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["s","a2"],["a2","t"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[15,15,16,16,17,17]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-complete-cut-enumeration；資料={"vertices":["s","a0","a1","a2","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["s","a2"],["a2","t"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[15,15,16,16,17,17]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-max-flow-min-cut-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-max-flow-min-cut-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [mfmc-complete-cut-enumeration] 操作後 derived = [[vertices, source, sink, cut_rows, cut_count, required_cut_count, certificate]] 條件：無 直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[s, a0, a1, a2, t], [[s, a0], [a0, t], [s, a1], [a1, t], [s, a2], [a2, t]], [15, 15, 16, 16, 17, 17], null, s, t] 操作後 derived = [[a0, a1, a2, s, t], [[a0, t], [a1, t], [a2, t], [s, a0], [s, a1], [s, a2]], [15, 16, 17, 15, 16, 17], null] 條件：無 2..12個vertices；ordered edges與capacity/flow先按原index配好再排序，反向邊是獨立arc。source/sink不同、loop/duplicate拒絕，zero容量、空edge與isolates合法。 步驟識別與依賴規則：MFMC_complete_directed_network_ZIP_before_source_order · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity := sum(15, 16, 17) 操作後 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [0, [a0, a1, a2], [s]] 操作後 derived = [[3, 4, 5], [], [[[s, a0], 15], [[s, a1], 16], [[s, a2], 17]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity := sum(15, 16, 17) 操作後 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [1, [a0, a1, a2], [a0, s]] 操作後 derived = [[0, 4, 5], [], [[[a0, t], 15], [[s, a1], 16], [[s, a2], 17]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity := sum(16, 15, 17) 操作後 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [2, [a0, a1, a2], [a1, s]] 操作後 derived = [[1, 3, 5], [], [[[a1, t], 16], [[s, a0], 15], [[s, a2], 17]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity := sum(15, 16, 17) 操作後 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [3, [a0, a1, a2], [a0, a1, s]] 操作後 derived = [[0, 1, 5], [], [[[a0, t], 15], [[a1, t], 16], [[s, a2], 17]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 MFMC cut mask4 OUTWARD capacity := sum(17, 15, 16) 操作後 MFMC cut mask4 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [4, [a0, a1, a2], [a2, s]] 操作後 derived = [[2, 3, 4], [], [[[a2, t], 17], [[s, a0], 15], [[s, a1], 16]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 MFMC cut mask5 OUTWARD capacity := sum(15, 17, 16) 操作後 MFMC cut mask5 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [5, [a0, a1, a2], [a0, a2, s]] 操作後 derived = [[0, 2, 4], [], [[[a0, t], 15], [[a2, t], 17], [[s, a1], 16]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 MFMC cut mask6 OUTWARD capacity := sum(16, 17, 15) 操作後 MFMC cut mask6 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [6, [a0, a1, a2], [a1, a2, s]] 操作後 derived = [[1, 2, 3], [], [[[a1, t], 16], [[a2, t], 17], [[s, a0], 15]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 MFMC cut mask7 OUTWARD capacity := sum(15, 16, 17) 操作後 MFMC cut mask7 OUTWARD capacity = 48 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [7, [a0, a1, a2], [a0, a1, a2, s]] 操作後 derived = [[0, 1, 2], [], [[[a0, t], 15], [[a1, t], 16], [[a2, t], 17]], 48] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [[a0, a1, a2, s, t], [a0, a1, a2]] 操作後 derived = [8, 8, 48, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s], [a2, s], [a0, a2, s], [a1, a2, s], [a0, a1, a2, s]]] 條件：無 每個s–t cut唯一對應other的subset，故已完整比較2^(n−2)個cuts；最小值與全部minimizers由同一完整族取得，保原mask tie次序。 步驟識別與依賴規則：MFMC_ALL_cut_family_complete_minimum_and_ALL_ties · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask7 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask6 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask5 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask4 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([a0, a1, a2, s, t], s, t, [[[s], [[[s, a0], 15], [[s, a1], 16], [[s, a2], 17]], 48], [[a0, s], [[[a0, t], 15], [[s, a1], 16], [[s, a2], 17]], 48], [[a1, s], [[[a1, t], 16], [[s, a0], 15], [[s, a2], 17]], 48], [[a0, a1, s], [[[a0, t], 15], [[a1, t], 16], [[s, a2], 17]], 48], [[a2, s], [[[a2, t], 17], [[s, a0], 15], [[s, a1], 16]], 48], [[a0, a2, s], [[[a0, t], 15], [[a2, t], 17], [[s, a1], 16]], 48], [[a1, a2, s], [[[a1, t], 16], [[a2, t], 17], [[s, a0], 15]], 48], [[a0, a1, a2, s], [[[a0, t], 15], [[a1, t], 16], [[a2, t], 17]], 48]], 8, 8, every_subset_containing_s_and_excluding_t_is_enumerated_and_only_forward_edges_are_counted) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d0f325c02ecef3dc4a709409d638632cb4db027224efa0028c5d4064890d8d12 - candidate record SHA-256: 3e032a83005a52394a35ec67d4223aad2923eda68d506278a3cf47db65bed46f - semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82 - question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0014.json)