# 第 25926 題：最大流最小割定理 [返回所在分頁 130](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/130/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0076) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0050-25926 · q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0076 ## 原題與已知條件 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-equal-value-optimality；資料={"vertices":["s","a0","a1","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[2,2,3,3,7],"flows":[2,2,3,3,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-equal-value-optimality；資料={"vertices":["s","a0","a1","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[2,2,3,3,7],"flows":[2,2,3,3,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-max-flow-min-cut-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-max-flow-min-cut-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [mfmc-equal-value-optimality] 操作後 derived = [[flow_value, minimum_capacity, equal_value_cuts, minimum_cuts, equal_values, maximum_flow_certificate, minimum_cut_certificate, integrality_or_algorithm_claim, certificate]] 條件：無 直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[s, a0, a1, t], [[s, a0], [a0, t], [s, a1], [a1, t], [a0, s]], [2, 2, 3, 3, 7], [2, 2, 3, 3, 0], s, t] 操作後 derived = [[a0, a1, s, t], [[a0, s], [a0, t], [a1, t], [s, a0], [s, a1]], [7, 2, 3, 2, 3], [0, 2, 3, 2, 3]] 條件：無 2..12個vertices；ordered edges與capacity/flow先按原index配好再排序，反向邊是獨立arc。source/sink不同、loop/duplicate拒絕，zero容量、空edge與isolates合法。 步驟識別與依賴規則：MFMC_complete_directed_network_ZIP_before_source_order · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity := sum(2, 3) 操作後 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [0, [a0, a1], [s]] 操作後 derived = [[3, 4], [0], [[[s, a0], 2], [[s, a1], 3]], 5] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity := sum(2, 3) 操作後 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [1, [a0, a1], [a0, s]] 操作後 derived = [[1, 4], [], [[[a0, t], 2], [[s, a1], 3]], 5] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity := sum(3, 2) 操作後 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [2, [a0, a1], [a1, s]] 操作後 derived = [[2, 3], [0], [[[a1, t], 3], [[s, a0], 2]], 5] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity := sum(2, 3) 操作後 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [3, [a0, a1], [a0, a1, s]] 操作後 derived = [[1, 2], [], [[[a0, t], 2], [[a1, t], 3]], 5] 條件：無 S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [[a0, a1, s, t], [a0, a1]] 操作後 derived = [4, 4, 5, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]]] 條件：無 每個s–t cut唯一對應other的subset，故已完整比較2^(n−2)個cuts；最小值與全部minimizers由同一完整族取得，保原mask tie次序。 步驟識別與依賴規則：MFMC_ALL_cut_family_complete_minimum_and_ALL_ties · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 MFMC vertex a0 ALL incoming := sum(2) 操作後 MFMC vertex a0 ALL incoming = 2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 MFMC vertex a0 ALL outgoing := sum(0, 2) 操作後 MFMC vertex a0 ALL outgoing = 2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 MFMC vertex a1 ALL incoming := sum(3) 操作後 MFMC vertex a1 ALL incoming = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 MFMC vertex a1 ALL outgoing := sum(3) 操作後 MFMC vertex a1 ALL outgoing = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 MFMC vertex s ALL incoming := sum(0) 操作後 MFMC vertex s ALL incoming = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 MFMC vertex s ALL outgoing := sum(2, 3) 操作後 MFMC vertex s ALL outgoing = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 MFMC vertex t ALL incoming := sum(2, 3) 操作後 MFMC vertex t ALL incoming = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 MFMC vertex t ALL outgoing := sum() 操作後 MFMC vertex t ALL outgoing = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 MFMC SOURCE net out not gross := sub(5, 0) 操作後 MFMC SOURCE net out not gross = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 MFMC SINK net in not gross := sub(5, 0) 操作後 MFMC SINK net in not gross = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [[[a0, s], [a0, t], [a1, t], [s, a0], [s, a1]], [0, 2, 3, 2, 3], [7, 2, 3, 2, 3], s, t] 操作後 derived = [[[[a0, s], 0, 7, 是], [[a0, t], 2, 2, 是], [[a1, t], 3, 3, 是], [[s, a0], 2, 2, 是], [[s, a1], 3, 3, 是]], [[a0, 2, 2, 是], [a1, 3, 3, 是]], 是, 是, 5, 5, 是, 是] 條件：無 feasible要逐edge容量界、逐internal守恆與源匯NET相同。incoming source或outgoing sink不丟棄；合法feasible flow的net可負，不額外要求value>=0。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_capacity_EVERY_internal_balance_source_sink_NET_feasibility · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 MFMC cut mask0 OUTWARD flow := sum(2, 3) 操作後 MFMC cut mask0 OUTWARD flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 MFMC cut mask0 INWARD flow := sum(0) 操作後 MFMC cut mask0 INWARD flow = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 MFMC cut mask0 NET flow := sub(5, 0) 操作後 MFMC cut mask0 NET flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [[s], [3, 4], [0], 5] 操作後 derived = [[[s], 5, 0, 5, 5, 是, 是]] 條件：無 把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 MFMC cut mask1 OUTWARD flow := sum(2, 3) 操作後 MFMC cut mask1 OUTWARD flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 MFMC cut mask1 INWARD flow := sum() 操作後 MFMC cut mask1 INWARD flow = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 MFMC cut mask1 NET flow := sub(5, 0) 操作後 MFMC cut mask1 NET flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 source roles = [[a0, s], [1, 4], [], 5] 操作後 derived = [[[a0, s], 5, 0, 5, 5, 是, 是]] 條件：無 把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 MFMC cut mask2 OUTWARD flow := sum(3, 2) 操作後 MFMC cut mask2 OUTWARD flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 MFMC cut mask2 INWARD flow := sum(0) 操作後 MFMC cut mask2 INWARD flow = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 MFMC cut mask2 NET flow := sub(5, 0) 操作後 MFMC cut mask2 NET flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [[a1, s], [2, 3], [0], 5] 操作後 derived = [[[a1, s], 5, 0, 5, 5, 是, 是]] 條件：無 把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 MFMC cut mask3 OUTWARD flow := sum(2, 3) 操作後 MFMC cut mask3 OUTWARD flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 MFMC cut mask3 INWARD flow := sum() 操作後 MFMC cut mask3 INWARD flow = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 MFMC cut mask3 NET flow := sub(5, 0) 操作後 MFMC cut mask3 NET flow = 5 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 source roles = [[a0, a1, s], [1, 2], [], 5] 操作後 derived = [[[a0, a1, s], 5, 0, 5, 5, 是, 是]] 條件：無 把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。 步驟識別與依賴規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 source roles = [是, 5, 5, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]]] 操作後 derived = [[[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]], 是, 是, 是, 否] 條件：無 任意feasible flow不超過這個同值cut，而任意cut不低於此feasible flow，因此當前flow達maximum且同值cuts達minimum。這是弱界的雙向夾住，不由裸數字相等取代feasibility；最後No僅不提供integrality或algorithm證明。 步驟識別與依賴規則：MFMC_feasible_equal_value_GENERAL_bounds_certify_BOTH_optima · 依賴：G001, S038 ## 逐步反向核對 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 NET flow，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 INWARD flow，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD flow，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 NET flow，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 INWARD flow，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD flow，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 NET flow，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 INWARD flow，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD flow，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 NET flow，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 INWARD flow，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD flow，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC SINK net in not gross，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC SOURCE net out not gross，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex t ALL outgoing，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex t ALL incoming，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex s ALL outgoing，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex s ALL incoming，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a1 ALL outgoing，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a1 ALL incoming，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a0 ALL outgoing，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a0 ALL incoming，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (5, 5, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]], [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]], 是, 是, 是, 否, equal_feasible_flow_and_cut_values_certify_both_optimal_without_integrality_or_algorithm_claims) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c2f40892f70dfadf9930bbf500a9e5537fd65ec9fcbfe11bb3e9c83853afedf3 - candidate record SHA-256: 9de4be2b1741848bb1fd452ab64829871d9aa124ab0bc627c4ddb6aafbac01e7 - semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82 - question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0076.json)