# 第 26237 題：壓縮映射定理

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0051-26237 · q-20261015-advance-20261116-r01-contraction-mapping-theorem-0062



## 原題與已知條件

完整metric、total self-map與forall-pairs q<1 contraction責任。操作=contract-fixed-point-bound；資料={"metric":[[0,12,36],[12,0,24],[36,24,0]],"mapping":[0,0,1],"q":[1,2],"start":2,"steps":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 完整metric、total self-map與forall-pairs q<1 contraction責任。操作=contract-fixed-point-bound；資料={"metric":[[0,12,36],[12,0,24],[36,24,0]],"mapping":[0,0,1],"q":[1,2],"start":2,"steps":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-contraction-mapping-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-contraction-mapping-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [contract-fixed-point-bound]

操作後

derived = [[orbit, fixed_point, actual_error, geometric_bound, bound_holds, certificate]]

條件：無

本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [[[0, 12, 36], [12, 0, 24], [36, 24, 0]]]

操作後

derived = [3, 是, 是, 是, [[0, 0, 0, 0, 0, 是], [0, 0, 1, 12, 12, 是], [0, 0, 2, 36, 36, 是], [0, 1, 0, 0, 24, 是], [0, 1, 1, 12, 12, 是], [0, 1, 2, 36, 36, 是], [0, 2, 0, 0, 72, 是], [0, 2, 1, 12, 60, 是], [0, 2, 2, 36, 36, 是], [1, 0, 0, 12, 12, 是], [1, 0, 1, 0, 24, 是], [1, 0, 2, 24, 48, 是], [1, 1, 0, 12, 12, 是], [1, 1, 1, 0, 0, 是], [1, 1, 2, 24, 24, 是], [1, 2, 0, 12, 60, 是], [1, 2, 1, 0, 48, 是], [1, 2, 2, 24, 24, 是], [2, 0, 0, 36, 36, 是], [2, 0, 1, 24, 48, 是], [2, 0, 2, 0, 72, 是], [2, 1, 0, 36, 36, 是], [2, 1, 1, 24, 24, 是], [2, 1, 2, 0, 48, 是], [2, 2, 0, 36, 36, 是], [2, 2, 1, 24, 24, 是], [2, 2, 2, 0, 0, 是]], 是]

條件：無

逐全部三元組核triangle，不由samples推metric。非空有限metric必complete：singleton顯然，否則取最小正距離delta，Cauchy尾段距離<delta便全相同，故極限仍在X。

步驟識別與依賴規則：Contraction_COMPLETE_metric_axioms_ALL_triangles_finite_completeness · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance := mul(1/2, 0)

操作後

Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance := mul(1/2, 12)

操作後

Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance = 6

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance := mul(1/2, 36)

操作後

Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance = 18

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance := mul(1/2, 12)

操作後

Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance = 6

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance := mul(1/2, 0)

操作後

Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance := mul(1/2, 24)

操作後

Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance = 12

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance := mul(1/2, 36)

操作後

Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance = 18

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance := mul(1/2, 24)

操作後

Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance = 12

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance := mul(1/2, 0)

操作後

Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [[0, 0, 1], 1/2, [[0, 12, 36], [12, 0, 24], [36, 24, 0]]]

操作後

derived = [是, 是, [[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 0, 6, 是], [0, 2, 12, 18, 是], [1, 0, 0, 6, 是], [1, 1, 0, 0, 是], [1, 2, 12, 12, 是], [2, 0, 12, 18, 是], [2, 1, 12, 12, 是], [2, 2, 0, 0, 是]], 是, [0]]

條件：無

self-map、0<=q<1與全部pair inequalities分開。nonself時source pairrows空；q失格但self時仍列實際全pair結果，不由array長度或抽樣判global。

步驟識別與依賴規則：Contraction_selfmap_q_range_ALL_ordered_pairs_separate · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [0, 2, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [1, 12]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [1, 1, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [2, 0, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [1/2, [0], 2, [2, 1, 0, 0]]

操作後

derived = [[36, 12, 0, 0], d(x_(n+k),x_n)<=q^n*(1-q^k)/(1-q)*d(x1,x0), complete limit fixed;two fixed points obey(1-q)d<=0 hence coincide]

條件：無

相鄰距離逐步<=q次前距，triangle把有限尾和成geometric bound，使Picard為Cauchy；completeness給極限，Lipschitz continuity使極限fixed。任兩fixed距離<=q倍自身，q<1迫距離0，故唯一。這是一般教學理由，不把finite orbit當一般定理形式證明。

步驟識別與依賴規則：Contraction_GENERAL_geometric_tail_complete_limit_and_unique_fixed · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

(1/2)^3

操作後

Contraction ORIGINAL q powerN = 1/8

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Contraction strict one minus q := sub(1, 1/2)

操作後

Contraction strict one minus q = 1/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Contraction geometric tail factor := div(1/8, 1/2)

操作後

Contraction geometric tail factor = 1/4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

Contraction factor times ORIGINAL first-step distance := mul(1/4, 24)

操作後

Contraction factor times ORIGINAL first-step distance = 6

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

source roles = [3, 1/2, [2, 1, 0, 0], 0, 24]

操作後

derived = [0, 6, 是]

條件：無

取尾長k→infinity得a posteriori界；N0時q^0空乘積1，即使q0。原source先算power／division再乘first distance，不因distance0跳過profile。

步驟識別與依賴規則：Contraction_actual_error_bound_N0_q0_profile_NOT_shortcircuited · 依賴：G001, S020









## 逐步反向核對


- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction factor times ORIGINAL first-step distance，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction geometric tail factor，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction strict one minus q，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([2, 1, 0, 0], 0, 0, 6, 是, d_xn_fixed_le_qn_over_one_minus_q_times_d_x1_x0)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 67ff13a360a1661ca34d0303baba244be93ac2a9d9d810655e0233d992239562
- candidate record SHA-256: abb2b1e96b59cc0a3e5011e4d71ded457755066d572b655ab0c270ab789eb5dc
- semantic review receipt SHA-256: 90df1e889242e9afdf01e068788ee8500ef366ffcfc0496e30a6800de32631c3
- question-first witness SHA-256: ae1e849608590ca856c9f3b6911ba58e3bf53c608eb7369606192a770f48bd5c
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r01-contraction-mapping-theorem-0062.json)