# 第 26353 題：介值定理

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0051-26353 · q-20261015-advance-20261116-r02-intermediate-value-theorem-0028



## 原題與已知條件

a<b、continuous interval function與inclusive target bracket責任。操作=ivt-exact-root；資料={"coefficients":[10,1],"a":-11,"b":-9,"target":0,"root":-10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — a<b、continuous interval function與inclusive target bracket責任。操作=ivt-exact-root；資料={"coefficients":[10,1],"a":-11,"b":-9,"target":0,"root":-10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-intermediate-value-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-intermediate-value-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [ivt-exact-root]

操作後

derived = [[root, value_at_root, inside_closed_interval, hits_target, uniqueness_or_closed_form_claim, certificate]]

條件：無

本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

(-11)^0

操作後

IVT ORIGINAL left endpoint ORIGINAL argument power0 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

IVT ORIGINAL left endpoint coefficient term0 := mul(10, 1)

操作後

IVT ORIGINAL left endpoint coefficient term0 = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

IVT ORIGINAL left endpoint ascending partial sum0 := sum(0, 10)

操作後

IVT ORIGINAL left endpoint ascending partial sum0 = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

(-11)^1

操作後

IVT ORIGINAL left endpoint ORIGINAL argument power1 = -11

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

IVT ORIGINAL left endpoint coefficient term1 := mul(1, -11)

操作後

IVT ORIGINAL left endpoint coefficient term1 = -11

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

IVT ORIGINAL left endpoint ascending partial sum1 := sum(10, -11)

操作後

IVT ORIGINAL left endpoint ascending partial sum1 = -1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

(-9)^0

操作後

IVT ORIGINAL right endpoint ORIGINAL argument power0 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

IVT ORIGINAL right endpoint coefficient term0 := mul(10, 1)

操作後

IVT ORIGINAL right endpoint coefficient term0 = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

IVT ORIGINAL right endpoint ascending partial sum0 := sum(0, 10)

操作後

IVT ORIGINAL right endpoint ascending partial sum0 = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

(-9)^1

操作後

IVT ORIGINAL right endpoint ORIGINAL argument power1 = -9

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

IVT ORIGINAL right endpoint coefficient term1 := mul(1, -9)

操作後

IVT ORIGINAL right endpoint coefficient term1 = -9

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

IVT ORIGINAL right endpoint ascending partial sum1 := sum(10, -9)

操作後

IVT ORIGINAL right endpoint ascending partial sum1 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [[10, 1], -11, -9, 0]

操作後

derived = [-1, 1, 是, 是]

條件：無

有限多項式的每個monomial與有限和在全interval連續，不從samples猜continuity。target須夾在端點值間，可遞增或遞減，等號亦包含；qualification可報bracketFalse。

步驟識別與依賴規則：IVT_WHOLE_polynomial_continuity_inclusive_both_endpoint_orientations · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

(-10)^0

操作後

IVT ORIGINAL supplied root ORIGINAL argument power0 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

IVT ORIGINAL supplied root coefficient term0 := mul(10, 1)

操作後

IVT ORIGINAL supplied root coefficient term0 = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

IVT ORIGINAL supplied root ascending partial sum0 := sum(0, 10)

操作後

IVT ORIGINAL supplied root ascending partial sum0 = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

(-10)^1

操作後

IVT ORIGINAL supplied root ORIGINAL argument power1 = -10

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

IVT ORIGINAL supplied root coefficient term1 := mul(1, -10)

操作後

IVT ORIGINAL supplied root coefficient term1 = -10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

IVT ORIGINAL supplied root ascending partial sum1 := sum(10, -10)

操作後

IVT ORIGINAL supplied root ascending partial sum1 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

source roles = [-11, -9, 0, -10]

操作後

derived = [0, 是, 是, 否, 否]

條件：無

逐供給root核f(root)=target與閉intervalmembership。endpoint family也可給interior root，此flag可False；exact-root的固定No只不保證一般unique／rational closed form，不否定此witness。

步驟識別與依賴規則：IVT_actual_closed_interval_root_hit_endpoint_flag_separate · 依賴：G001, S020









## 逐步反向核對


- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL supplied root ascending partial sum1，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL supplied root coefficient term1，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL supplied root ascending partial sum0，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL supplied root coefficient term0，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL right endpoint ascending partial sum1，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL right endpoint coefficient term1，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL right endpoint ascending partial sum0，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL right endpoint coefficient term0，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL left endpoint ascending partial sum1，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL left endpoint coefficient term1，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL left endpoint ascending partial sum0，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 IVT ORIGINAL left endpoint coefficient term0，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(-10, 0, 是, 是, 否, IVT_existence_does_not_imply_uniqueness_or_rational_closed_form)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 6e1fb2b958f7756ce4fbfcad00d78431b47f99275e951dd0b6a851798aa76b46
- candidate record SHA-256: a6d8fd3370363f002c716ae9ecf6209bd484eb5a215485a048055945a5391f66
- semantic review receipt SHA-256: 90df1e889242e9afdf01e068788ee8500ef366ffcfc0496e30a6800de32631c3
- question-first witness SHA-256: ae1e849608590ca856c9f3b6911ba58e3bf53c608eb7369606192a770f48bd5c
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r02-intermediate-value-theorem-0028.json)