# 第 26462 題：Taylor餘項定理

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0051-26462 · q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0012



## 原題與已知條件

center、order、interval-wide n+1 differentiability與Taylor remainder責任。操作=taylor-qualification；資料={"coefficients":[13,8,3],"center":0,"x":[1,2],"order":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — center、order、interval-wide n+1 differentiability與Taylor remainder責任。操作=taylor-qualification；資料={"coefficients":[13,8,3],"center":0,"x":[1,2],"order":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-taylor-remainder-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-remainder-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [taylor-qualification]

操作後

derived = [[coefficients, center, x, order, center_derivatives, Taylor_terms, Taylor_value, function_value, remainder, boundary]]

條件：無

本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL x minus declared center := sub(1/2, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL x minus declared center = 1/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

(0)^0

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 center power0 term0 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0 := mul(1, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0 := mul(13, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0 := sum(0, 13)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

(0)^1

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 center power1 term1 = 0

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1 := mul(1, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1 := mul(8, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1 := sum(13, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

(0)^2

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 center power2 term2 = 0

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2 := mul(1, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2 := mul(3, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2 := sum(13, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [0, 0, [13, 8, 3]]

操作後

derived = [[[0, 13, 1, 1, 13], [1, 8, 1, 0, 0], [2, 3, 1, 0, 0]], 13]

條件：無

x^j的k階導數是j!/(j−k)!*x^(j−k)，j<k消失；逐原升冪次序加完，空和0。這裡整個polynomial已知，不只是中心jet。

步驟識別與依賴規則：Taylor_EACH_derivative_complete_falling_factorial_source_order · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

(1/2)^0

操作後

Taylor ORIGINAL displacement power0 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative times displacement0 := mul(13, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative times displacement0 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL term0 divide factorial := div(13, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL term0 divide factorial = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

(0)^0

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 center power0 term1 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term1 := mul(1, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term1 = 1

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term1 := mul(8, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term1 = 8

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term1 := sum(0, 8)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term1 = 8

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

(0)^1

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 center power1 term2 = 0

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term2 := mul(2, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term2 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term2 := mul(3, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term2 = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term2 := sum(8, 0)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term2 = 8

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

source roles = [1, 0, [13, 8, 3]]

操作後

derived = [[[1, 8, 1, 1, 8], [2, 3, 2, 0, 0]], 8]

條件：無

x^j的k階導數是j!/(j−k)!*x^(j−k)，j<k消失；逐原升冪次序加完，空和0。這裡整個polynomial已知，不只是中心jet。

步驟識別與依賴規則：Taylor_EACH_derivative_complete_falling_factorial_source_order · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

(1/2)^1

操作後

Taylor ORIGINAL displacement power1 = 1/2

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S027





S029 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative times displacement1 := mul(8, 1/2)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative times displacement1 = 4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028





S030 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL term1 divide factorial := div(4, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL term1 divide factorial = 4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

(0)^0

操作後

Taylor ORIGINAL derivative2 center power0 term2 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S030





S032 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative2 falling factor times power term2 := mul(2, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative2 falling factor times power term2 = 2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031





S033 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative2 ORIGINAL coefficient term2 := mul(3, 2)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative2 ORIGINAL coefficient term2 = 6

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032





S034 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative2 ascending derivative sum term2 := sum(0, 6)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative2 ascending derivative sum term2 = 6

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

source roles = [2, 0, [13, 8, 3]]

操作後

derived = [[[2, 3, 2, 1, 6]], 6]

條件：無

x^j的k階導數是j!/(j−k)!*x^(j−k)，j<k消失；逐原升冪次序加完，空和0。這裡整個polynomial已知，不只是中心jet。

步驟識別與依賴規則：Taylor_EACH_derivative_complete_falling_factorial_source_order · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

(1/2)^2

操作後

Taylor ORIGINAL displacement power2 = 1/4

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S035





S037 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL derivative times displacement2 := mul(6, 1/4)

操作後

Taylor ORIGINAL derivative times displacement2 = 3/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036





S038 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL term2 divide factorial := div(3/2, 2)

操作後

Taylor ORIGINAL term2 divide factorial = 3/4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037





S039 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL partial sum0 := sum(0, 13)

操作後

Taylor ORIGINAL partial sum0 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038





S040 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL partial sum1 := sum(13, 4)

操作後

Taylor ORIGINAL partial sum1 = 17

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039





S041 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL partial sum2 := sum(17, 3/4)

操作後

Taylor ORIGINAL partial sum2 = 71/4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

(1/2)^0

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x ORIGINAL argument power0 = 1

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S041





S043 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term0 := mul(13, 1)

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term0 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042





S044 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum0 := sum(0, 13)

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum0 = 13

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

(1/2)^1

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x ORIGINAL argument power1 = 1/2

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S044





S046 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term1 := mul(8, 1/2)

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term1 = 4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045





S047 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum1 := sum(13, 4)

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum1 = 17

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

(1/2)^2

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x ORIGINAL argument power2 = 1/4

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S047





S049 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term2 := mul(3, 1/4)

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term2 = 3/4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048





S050 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum2 := sum(17, 3/4)

操作後

Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum2 = 71/4

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049





S051 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL f(x) minus Taylor value := sub(71/4, 71/4)

操作後

Taylor ORIGINAL f(x) minus Taylor value = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

source roles = [[13, 8, 3], 0, 1/2, 2, [13, 8, 6], [13, 4, 3/4]]

操作後

derived = [71/4, 71/4, 0, 2]

條件：無

T_n=Σ f^(k)(a)(x−a)^k/k!，保含0階與所有requested zero terms；remainder=f(x)−T_n。polynomial可在整個interval微分，但一般函數不能由有限中心jet推出interval假設、series equality或analyticity。EMPTY係數degree−1不同於[0]degree0。

步驟識別與依賴規則：Taylor_WHOLE_polynomial_shifted_basis_remainder_vs_interval_hypotheses · 依賴：G001, S051





S053 · calculation操作前

Taylor ORIGINAL next derivative EMPTY derivative sum := sum()

操作後

Taylor ORIGINAL next derivative EMPTY derivative sum = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

source roles = [3, 0, [13, 8, 3]]

操作後

derived = [[], 0]

條件：無

x^j的k階導數是j!/(j−k)!*x^(j−k)，j<k消失；逐原升冪次序加完，空和0。這裡整個polynomial已知，不只是中心jet。

步驟識別與依賴規則：Taylor_EACH_derivative_complete_falling_factorial_source_order · 依賴：G001, S053









## 逐步反向核對


- S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL next derivative EMPTY derivative sum，不以小數近似替代。
- S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL f(x) minus Taylor value，不以小數近似替代。
- S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum2，不以小數近似替代。
- S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term2，不以小數近似替代。
- S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum1，不以小數近似替代。
- S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term1，不以小數近似替代。
- S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum0，不以小數近似替代。
- S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term0，不以小數近似替代。
- S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL partial sum2，不以小數近似替代。
- S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL partial sum1，不以小數近似替代。
- S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL partial sum0，不以小數近似替代。
- S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL term2 divide factorial，不以小數近似替代。
- S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative times displacement2，不以小數近似替代。
- S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 ascending derivative sum term2，不以小數近似替代。
- S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 ORIGINAL coefficient term2，不以小數近似替代。
- S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 falling factor times power term2，不以小數近似替代。
- S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL term1 divide factorial，不以小數近似替代。
- S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative times displacement1，不以小數近似替代。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term2，不以小數近似替代。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term2，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term2，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term1，不以小數近似替代。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term1，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term1，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL term0 divide factorial，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative times displacement0，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL x minus declared center，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([13, 8, 3], 0, 1/2, 2, [13, 8, 6, 0], [13, 4, 3/4], 71/4, 71/4, 0, interval_wide_n_plus_one_differentiability_is_separate_from_center_jet)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 564bb104bcf17a6ce37a5ede39d94cdeb2cb6923390a6fa3593433496b1b0816
- candidate record SHA-256: 5863b285bb643cd67147922b5b585545185c0f9004268b9b6c54fd90fd21c30b
- semantic review receipt SHA-256: 90df1e889242e9afdf01e068788ee8500ef366ffcfc0496e30a6800de32631c3
- question-first witness SHA-256: ae1e849608590ca856c9f3b6911ba58e3bf53c608eb7369606192a770f48bd5c
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0012.json)