# 第 26438 題：Taylor餘項定理 [返回所在分頁 133](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/133/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0063) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0051-26438 · q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0063 ## 原題與已知條件 center、order、interval-wide n+1 differentiability與Taylor remainder責任。操作=taylor-lagrange-witness；資料={"coefficients":[14,10,6,2,14],"center":0,"x":[1,2],"order":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — center、order、interval-wide n+1 differentiability與Taylor remainder責任。操作=taylor-lagrange-witness；資料={"coefficients":[14,10,6,2,14],"center":0,"x":[1,2],"order":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-taylor-remainder-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-remainder-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [taylor-lagrange-witness] 操作後 derived = [[degree, order, constant_next_derivative, intermediate_point, strictly_between, Lagrange_remainder, actual_remainder, remainders_equal, certificate]] 條件：無 本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL x minus declared center := sub(1/2, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL x minus declared center = 1/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (0)^0 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power0 term0 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0 := mul(1, 1) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0 := mul(14, 1) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0 := sum(0, 14) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 (0)^1 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power1 term1 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1 := mul(10, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1 := sum(14, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 (0)^2 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power2 term2 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2 := mul(6, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2 := sum(14, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 (0)^3 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power3 term3 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term3 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term3 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term3 := mul(2, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term3 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term3 := sum(14, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term3 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 (0)^4 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power4 term4 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term4 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term4 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term4 := mul(14, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term4 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term4 := sum(14, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term4 = 14 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [0, 0, [14, 10, 6, 2, 14]] 操作後 derived = [[[0, 14, 1, 1, 14], [1, 10, 1, 0, 0], [2, 6, 1, 0, 0], [3, 2, 1, 0, 0], [4, 14, 1, 0, 0]], 14] 條件：無 x^j的k階導數是j!/(j−k)!*x^(j−k)，j