# 第 26402 題：Taylor餘項定理 [返回所在分頁 133](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/133/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0077) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0051-26402 · q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0077 ## 原題與已知條件 center、order、interval-wide n+1 differentiability與Taylor remainder責任。操作=taylor-bound-boundary；資料={"mode":"undersized_M","coefficients":[3,5,7,3],"center":0,"x":[1,2],"order":2,"M":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — center、order、interval-wide n+1 differentiability與Taylor remainder責任。操作=taylor-bound-boundary；資料={"mode":"undersized_M","coefficients":[3,5,7,3],"center":0,"x":[1,2],"order":2,"M":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-taylor-remainder-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-remainder-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [taylor-bound-boundary] 操作後 derived = [[mode, remainder, derivative_supremum, M, proposed_error_bound, actual_error_inequality, qualified_bound_certificate, general_theorem_or_analyticity_claim, boundary]] 條件：無 本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL x minus declared center := sub(1/2, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL x minus declared center = 1/2 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (0)^0 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power0 term0 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0 := mul(1, 1) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0 = 1 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0 := mul(3, 1) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0 = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0 := sum(0, 3) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0 = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 (0)^1 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power1 term1 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1 := mul(5, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1 := sum(3, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1 = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 (0)^2 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power2 term2 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2 := mul(7, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2 := sum(3, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2 = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 (0)^3 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 center power3 term3 = 0 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term3 := mul(1, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term3 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term3 := mul(3, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term3 = 0 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term3 := sum(3, 0) 操作後 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term3 = 3 條件：無 依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [0, 0, [3, 5, 7, 3]] 操作後 derived = [[[0, 3, 1, 1, 3], [1, 5, 1, 0, 0], [2, 7, 1, 0, 0], [3, 3, 1, 0, 0]], 3] 條件：無 x^j的k階導數是j!/(j−k)!*x^(j−k)，j=D分開：x=a時即使M不足仍0<=0True，但qualifiedFalse。最後No不從finite jet推一般remainder theorem或analyticity。 步驟識別與依賴規則：Taylor_actual_error_inequality_NOT_qualified_derivative_bound · 依賴：G001, S075 ## 逐步反向核對 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor bound divide next factorial，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor bound supplied M times power，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL next derivative ascending derivative sum term3，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL next derivative ORIGINAL coefficient term3，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL next derivative falling factor times power term3，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL f(x) minus Taylor value，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum3，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term3，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum2，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term2，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum1，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term1，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x ascending partial sum0，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL full function at x coefficient term0，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL partial sum2，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL partial sum1，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL partial sum0，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL term2 divide factorial，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative times displacement2，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 ascending derivative sum term3，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 ORIGINAL coefficient term3，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 falling factor times power term3，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 ascending derivative sum term2，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 ORIGINAL coefficient term2，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative2 falling factor times power term2，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL term1 divide factorial，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative times displacement1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term3，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term3，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term3，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term2，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term2，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term2，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ascending derivative sum term1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 ORIGINAL coefficient term1，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative1 falling factor times power term1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL term0 divide factorial，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative times displacement0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term3，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ascending derivative sum term0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 ORIGINAL coefficient term0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL derivative0 falling factor times power term0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor ORIGINAL x minus declared center，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (undersized_M, 3/8, 18, 17, 17/48, 否, 否, 否, exact_constant_n_plus_one_derivative_controls_the_bound_finite_jet_does_not_prove_general_theorem_or_analyticity) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2ee740413e1cb1c79dc9f7b72c23b0e3bbecc25396e4fb64f30aa11c30da78b3 - candidate record SHA-256: 5538dd52737592dd77ecf4eed25d70ba7861a0cde03322187ffecb9a09095da5 - semantic review receipt SHA-256: 90df1e889242e9afdf01e068788ee8500ef366ffcfc0496e30a6800de32631c3 - question-first witness SHA-256: ae1e849608590ca856c9f3b6911ba58e3bf53c608eb7369606192a770f48bd5c - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r03-taylor-remainder-theorem-0077.json)