# 第 33808 題：模n乘法階

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0066-33808 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0008



## 原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":10,"a":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":10,"a":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-multiplicative-order-mod-n](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multiplicative-order-mod-n/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-mod47-morder-qualification, [a, domain, n, operation]]

操作後

derived = [morder-qualification, Exact_multiplicative_order_mod_n]

條件：無

原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。

步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL representative, 3, 10]

操作後

derived = [0, 3]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [10, 3, 3, 1]

操作後

derived = [[1, 3, 7, 9], 4]

條件：無

先n≥2，正規化到0..n−1並驗gcd=1；完整列所有與n互質的residue得phi(n)，不可拿n−1代替一般phi，也不把nonunit定義為某個數值階。

步驟識別與依賴規則：Order_ALL_residues_UNIT_gcd_and_complete_phi_carrier · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 := mul(1, 3)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 = 3

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [first-return exponent1, 3, 10]

操作後

derived = [0, 3]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 := mul(3, 3)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 = 9

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [first-return exponent2, 9, 10]

操作後

derived = [0, 9]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 := mul(9, 3)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 = 27

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [first-return exponent3, 27, 10]

操作後

derived = [2, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 := mul(7, 3)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 = 21

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [first-return exponent4, 21, 10]

操作後

derived = [2, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [10, 3, 4]

操作後

derived = [[[1, 3], [2, 9], [3, 7], [4, 1]], 4]

條件：無

來源即使qualification只輸出gcd/phi，也先計first-return完整prefix；保留此unused計算責任。從正指數1開始且之前不回1；不宣稱階必等phi或primitive root/加法階。

步驟識別與依賴規則：Order_SOURCE_UNUSED_qualification_return_table_still_checked · 依賴：G001, S011









## 逐步反向核對


- S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。





## 結論

(10, 3, 3, 1, 4, 是, unit_mod_n_qualified)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: d83d4019799e468f2d440cee520a3542dfcbbc9f29df7475e261b5fc48174ba4
- candidate record SHA-256: b1542ae7bbc1f9878de37e1c45c1e729154c00e7e3df35aa392d17e8b4c2e199
- semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267
- question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710cc
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0008.json)