# 第 33825 題：模n乘法階

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0066-33825 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0025



## 原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":27,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":27,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-multiplicative-order-mod-n](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multiplicative-order-mod-n/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-mod47-morder-qualification, [a, domain, n, operation]]

操作後

derived = [morder-qualification, Exact_multiplicative_order_mod_n]

條件：無

原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。

步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [ORIGINAL representative, 2, 27]

操作後

derived = [0, 2]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [27, 2, 2, 1]

操作後

derived = [[1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26], 18]

條件：無

先n≥2，正規化到0..n−1並驗gcd=1；完整列所有與n互質的residue得phi(n)，不可拿n−1代替一般phi，也不把nonunit定義為某個數值階。

步驟識別與依賴規則：Order_ALL_residues_UNIT_gcd_and_complete_phi_carrier · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 := mul(1, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 = 2

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [first-return exponent1, 2, 27]

操作後

derived = [0, 2]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 := mul(2, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 = 4

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [first-return exponent2, 4, 27]

操作後

derived = [0, 4]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 := mul(4, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 = 8

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [first-return exponent3, 8, 27]

操作後

derived = [0, 8]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 := mul(8, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 = 16

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [first-return exponent4, 16, 27]

操作後

derived = [0, 16]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5 := mul(16, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5 = 32

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [first-return exponent5, 32, 27]

操作後

derived = [1, 5]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6 := mul(5, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6 = 10

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [first-return exponent6, 10, 27]

操作後

derived = [0, 10]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent7 := mul(10, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent7 = 20

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

source roles = [first-return exponent7, 20, 27]

操作後

derived = [0, 20]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent8 := mul(20, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent8 = 40

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

source roles = [first-return exponent8, 40, 27]

操作後

derived = [1, 13]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent9 := mul(13, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent9 = 26

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

source roles = [first-return exponent9, 26, 27]

操作後

derived = [0, 26]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S020





S022 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent10 := mul(26, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent10 = 52

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

source roles = [first-return exponent10, 52, 27]

操作後

derived = [1, 25]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S022





S024 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent11 := mul(25, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent11 = 50

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

source roles = [first-return exponent11, 50, 27]

操作後

derived = [1, 23]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S024





S026 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent12 := mul(23, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent12 = 46

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

source roles = [first-return exponent12, 46, 27]

操作後

derived = [1, 19]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S026





S028 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent13 := mul(19, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent13 = 38

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

source roles = [first-return exponent13, 38, 27]

操作後

derived = [1, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S028





S030 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent14 := mul(11, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent14 = 22

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

source roles = [first-return exponent14, 22, 27]

操作後

derived = [0, 22]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S030





S032 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent15 := mul(22, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent15 = 44

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

source roles = [first-return exponent15, 44, 27]

操作後

derived = [1, 17]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S032





S034 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent16 := mul(17, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent16 = 34

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

source roles = [first-return exponent16, 34, 27]

操作後

derived = [1, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S034





S036 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent17 := mul(7, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent17 = 14

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

source roles = [first-return exponent17, 14, 27]

操作後

derived = [0, 14]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S036





S038 · calculation操作前

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent18 := mul(14, 2)

操作後

Order ORIGINAL previous residue times unit exponent18 = 28

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

source roles = [first-return exponent18, 28, 27]

操作後

derived = [1, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

source roles = [27, 2, 18]

操作後

derived = [[[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 5], [6, 10], [7, 20], [8, 13], [9, 26], [10, 25], [11, 23], [12, 19], [13, 11], [14, 22], [15, 17], [16, 7], [17, 14], [18, 1]], 18]

條件：無

來源即使qualification只輸出gcd/phi，也先計first-return完整prefix；保留此unused計算責任。從正指數1開始且之前不回1；不宣稱階必等phi或primitive root/加法階。

步驟識別與依賴規則：Order_SOURCE_UNUSED_qualification_return_table_still_checked · 依賴：G001, S039









## 逐步反向核對


- S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S039 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent18，不以小數近似替代。
- S037 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent17，不以小數近似替代。
- S035 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent16，不以小數近似替代。
- S033 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent15，不以小數近似替代。
- S031 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent14，不以小數近似替代。
- S029 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent13，不以小數近似替代。
- S027 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent12，不以小數近似替代。
- S025 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent11，不以小數近似替代。
- S023 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent10，不以小數近似替代。
- S021 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent9，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent8，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent7，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。





## 結論

(27, 2, 2, 1, 18, 是, unit_mod_n_qualified)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 8f438582a2df40966ce8e677e8919eead16a020f969d74894e6a93a5c625030c
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