# 第 944 題：模n乘法階 [返回所在分頁 5](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/5/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-foundations/#q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0044) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0944 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0044 ## 原題與已知條件 n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-power-first-return；資料={"n":21,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-power-first-return；資料={"n":21,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n≥2 且 a 正規化後與 n 互質；階數是第一個回到 1 的正指數。 - [mko-multiplicative-order-mod-n](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multiplicative-order-mod-n/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=21; a=2 操作後 order is defined here only for n≥2 and units modulo n 條件：無 先固定本節點的定義域；加法階數與乘法階數不能混用。 步驟識別與依賴規則：order_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 a=2 操作後 normalized residue=2; gcd(2,21)=1 條件：無 先把負代表元也正規化到[0,n)，再檢查互質。 步驟識別與依賴規則：normalize_and_qualify · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 gcd(residue,n)=1; units=[1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20] 操作後 phi(21)=12 條件：無 逐一枚舉0到n−1的互質類，phi是完整unit載體的大小。 步驟識別與依賴規則：complete_unit_enumeration · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 power product at k=1 := mul(1, 2) 操作後 power product at k=1 = 2 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 product=2 操作後 a^1 mod 21=2 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 power product at k=2 := mul(2, 2) 操作後 power product at k=2 = 4 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 product=4 操作後 a^2 mod 21=4 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 power product at k=3 := mul(4, 2) 操作後 power product at k=3 = 8 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 product=8 操作後 a^3 mod 21=8 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 power product at k=4 := mul(8, 2) 操作後 power product at k=4 = 16 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 product=16 操作後 a^4 mod 21=16 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 power product at k=5 := mul(16, 2) 操作後 power product at k=5 = 32 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 product=32 操作後 a^5 mod 21=11 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 power product at k=6 := mul(11, 2) 操作後 power product at k=6 = 22 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 product=22 操作後 a^6 mod 21=1 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 all positive k<=6: [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 11], [6, 1]] 操作後 first positive return to1 occurs at k=6 條件：無 已完整檢查所有更小正指數均未回到1；k=0的單位元不計入階數。 步驟識別與依賴規則：least_positive_return · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S015 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=6，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=5，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=4，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=3，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 ## 結論 ([[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 11], [6, 1]], 6, 是, 是, order_is_the_first_positive_return) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d73d02608fb73822bf19f634aa5d49654cc5abdfa70358993cd15477b177ed16 - candidate record SHA-256: 6192e2edbb1ec601417b626fed24bd76ba3fcba687da506ce94382cb4ed562d7 - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0044.json)