# 第 973 題：模n乘法階 [返回所在分頁 5](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/5/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-foundations/#q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0073) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0973 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0073 ## 原題與已知條件 n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":25,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":25,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 單位群被等長軌道分割，所以階數整除 phi(n)；不由此推出相等或原根。 - [mko-multiplicative-order-mod-n](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multiplicative-order-mod-n/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=25; a=2 操作後 order is defined here only for n≥2 and units modulo n 條件：無 先固定本節點的定義域；加法階數與乘法階數不能混用。 步驟識別與依賴規則：order_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 a=2 操作後 normalized residue=2; gcd(2,25)=1 條件：無 先把負代表元也正規化到[0,n)，再檢查互質。 步驟識別與依賴規則：normalize_and_qualify · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 gcd(residue,n)=1; units=[1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24] 操作後 phi(25)=20 條件：無 逐一枚舉0到n−1的互質類，phi是完整unit載體的大小。 步驟識別與依賴規則：complete_unit_enumeration · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 power product at k=1 := mul(1, 2) 操作後 power product at k=1 = 2 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 product=2 操作後 a^1 mod 25=2 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 power product at k=2 := mul(2, 2) 操作後 power product at k=2 = 4 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 product=4 操作後 a^2 mod 25=4 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 power product at k=3 := mul(4, 2) 操作後 power product at k=3 = 8 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 product=8 操作後 a^3 mod 25=8 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 power product at k=4 := mul(8, 2) 操作後 power product at k=4 = 16 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 product=16 操作後 a^4 mod 25=16 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 power product at k=5 := mul(16, 2) 操作後 power product at k=5 = 32 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 product=32 操作後 a^5 mod 25=7 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 power product at k=6 := mul(7, 2) 操作後 power product at k=6 = 14 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 product=14 操作後 a^6 mod 25=14 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 power product at k=7 := mul(14, 2) 操作後 power product at k=7 = 28 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 product=28 操作後 a^7 mod 25=3 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 power product at k=8 := mul(3, 2) 操作後 power product at k=8 = 6 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 product=6 操作後 a^8 mod 25=6 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 power product at k=9 := mul(6, 2) 操作後 power product at k=9 = 12 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 product=12 操作後 a^9 mod 25=12 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 power product at k=10 := mul(12, 2) 操作後 power product at k=10 = 24 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 product=24 操作後 a^10 mod 25=24 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 power product at k=11 := mul(24, 2) 操作後 power product at k=11 = 48 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 product=48 操作後 a^11 mod 25=23 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 power product at k=12 := mul(23, 2) 操作後 power product at k=12 = 46 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 product=46 操作後 a^12 mod 25=21 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 power product at k=13 := mul(21, 2) 操作後 power product at k=13 = 42 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 product=42 操作後 a^13 mod 25=17 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 power product at k=14 := mul(17, 2) 操作後 power product at k=14 = 34 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 product=34 操作後 a^14 mod 25=9 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 power product at k=15 := mul(9, 2) 操作後 power product at k=15 = 18 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 product=18 操作後 a^15 mod 25=18 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 power product at k=16 := mul(18, 2) 操作後 power product at k=16 = 36 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 product=36 操作後 a^16 mod 25=11 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 power product at k=17 := mul(11, 2) 操作後 power product at k=17 = 22 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 product=22 操作後 a^17 mod 25=22 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 power product at k=18 := mul(22, 2) 操作後 power product at k=18 = 44 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 product=44 操作後 a^18 mod 25=19 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 power product at k=19 := mul(19, 2) 操作後 power product at k=19 = 38 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 product=38 操作後 a^19 mod 25=13 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 power product at k=20 := mul(13, 2) 操作後 power product at k=20 = 26 條件：無 前一個冪的代表乘以同一正規化底數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 product=26 操作後 a^20 mod 25=1 條件：無 此步餘數才是完整的下一冪代表。 步驟識別與依賴規則：reduce_next_power · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 all positive k<=20: [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 7], [6, 14], [7, 3], [8, 6], [9, 12], [10, 24], [11, 23], [12, 21], [13, 17], [14, 9], [15, 18], [16, 11], [17, 22], [18, 19], [19, 13], [20, 1]] 操作後 first positive return to1 occurs at k=20 條件：無 已完整檢查所有更小正指數均未回到1；k=0的單位元不計入階數。 步驟識別與依賴規則：least_positive_return · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 multiply unit 1 successively by 2 操作後 orbit=[1, 2, 4, 8, 16, 7, 14, 3, 6, 12, 24, 23, 21, 17, 9, 18, 11, 22, 19, 13]; length=20 條件：無 unit乘法是雙射；若較早回到起點，約去起點unit就會違反已證的最小正階數。 步驟識別與依賴規則：unit_orbit_partition · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 complete disjoint unit orbits=[[1, 2, 4, 8, 16, 7, 14, 3, 6, 12, 24, 23, 21, 17, 9, 18, 11, 22, 19, 13]] 操作後 phi=20=1·20; remainder=0 條件：無 所有unit恰被等長軌道分割，所以階數整除phi；不由此宣稱相等或原根。 步驟識別與依賴規則：order_divides_totient · 依賴：G001, S045 ## 逐步反向核對 - S046 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S045 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S044 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S043 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=20，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=19，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=18，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=17，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=16，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=15，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=14，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=13，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=12，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=11，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=10，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=9，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=8，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=7，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=6，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=5，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=4，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=3，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 - S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。 ## 結論 (20, 20, 是, [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 7], [6, 14], [7, 3], [8, 6], [9, 12], [10, 24], [11, 23], [12, 21], [13, 17], [14, 9], [15, 18], [16, 11], [17, 22], [18, 19], [19, 13], [20, 1]], ord_n_a_divides_phi_n_without_claiming_equality_or_primitive_root) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 9ad340299a38ede0c99703a5b768a10b7367d9470e81abd84e3cddb4caef5670 - candidate record SHA-256: ec98504fffc5f94ef3e42c8892bbf5ae75ead26e9bdec29e374db9c9b26ba530 - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0073.json)