# 第 996 題：模n乘法階

[返回所在分頁 5](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/5/)

[← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-foundations/#q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0096)

本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

P1000-0996 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0096



## 原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-boundary；資料={"mode":"noncoprime","n":48,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-boundary；資料={"mode":"noncoprime","n":48,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n<2 或不互質時階數未定義；1 的階數為 1；負代表元先正規化到 [0,n)。


- [mko-multiplicative-order-mod-n](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multiplicative-order-mod-n/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=48; a=2

操作後

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

條件：無

先固定本節點的定義域；加法階數與乘法階數不能混用。

步驟識別與依賴規則：order_domain · 依賴：G001





S002 · implies操作前

a=2

操作後

normalized residue=2; gcd(2,48)=2

條件：無

先把負代表元也正規化到[0,n)，再檢查互質。

步驟識別與依賴規則：normalize_and_qualify · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

g=2>1 divides both residue and n

操作後

no positive power can be congruent to1

條件：無

每個正冪及模數的共同因數仍整除其整數線性組合，不可能得到1。

步驟識別與依賴規則：nonunit_power_obstruction · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

not a unit

操作後

power table=null; order=undefined

條件：無

這是否定定義域資格，不是把未定義階數設成1。

步驟識別與依賴規則：nonunit_order_boundary · 依賴：G001, S003









## 逐步反向核對


- S004 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
- S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
- S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
- S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。





## 結論

(noncoprime, 48, 2, 2, 2, 否, null, undefined, mode_specific_multiplicative_order_boundary)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 670ef2cda62eb6cc3a47ed40346e0a094563be8976f9f801348b7a7e4b38a76d
- candidate record SHA-256: d338fe590ac2749212640c6d95598be9cd8123dac4e938a7bc2bb153049ec0ed
- semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772
- question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0096.json)