# 第 26937 題：級數比較判別法 [返回所在分頁 135](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/135/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261117-r01-series-comparison-test-foundations/#q-20261015-advance-20261117-r01-series-comparison-test-0062) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0052-26937 · q-20261015-advance-20261117-r01-series-comparison-test-0062 ## 原題與已知條件 非負項、eventual forall比較方向與reference series狀態責任。操作=series-eventual-tail；資料={"prefix_a":[12],"prefix_b":[1],"a_scale":12,"b_scale":13,"ratio":[2,9],"cutoff":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 非負項、eventual forall比較方向與reference series狀態責任。操作=series-eventual-tail；資料={"prefix_a":[12],"prefix_b":[1],"a_scale":12,"b_scale":13,"ratio":[2,9],"cutoff":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-series-comparison-test](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-series-comparison-test/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [series-eventual-tail] 操作後 derived = [[cutoff, prefix_a_sum, prefix_b_sum, tail_a_sum, tail_b_sum, total_a, convergent, certificate]] 條件：無 直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [12, 13, 2/9] 操作後 derived = [EVERY tail term is A*r^k and B*r^k for k>=0, r^0=1 including r=0, 是] 條件：無 整條tail律是給定前提，k由0開始；0<=A<=B與r>=0給逐項比較，0<=r<1才可用geometric和。r=0的首項仍有r^0=1。 步驟識別與依賴規則：Series_WHOLE_geometric_tail_premises_not_finite_samples · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Series prefixA ORIGINAL running sum0 := sum(0, 12) 操作後 Series prefixA ORIGINAL running sum0 = 12 條件：無 以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Series prefixB ORIGINAL running sum0 := sum(0, 1) 操作後 Series prefixB ORIGINAL running sum0 = 1 條件：無 以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [1, [12], [1]] 操作後 derived = [12, 1, tail exponent n-cutoff starts at0] 條件：無 cutoff是prefix項數；兩prefix各自非負但不要求逐項或總和互相比較，tail在n=cutoff從指數0開始。空prefix合法。 步驟識別與依賴規則：Series_arbitrary_nonnegative_prefix_count_NOT_global_order · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Series ORIGINAL one minus ratio := sub(1, 2/9) 操作後 Series ORIGINAL one minus ratio = 7/9 條件：無 以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Series ORIGINAL geometric tailA := div(12, 7/9) 操作後 Series ORIGINAL geometric tailA = 108/7 條件：無 以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Series ORIGINAL geometric tailB := div(13, 7/9) 操作後 Series ORIGINAL geometric tailB = 117/7 條件：無 以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [12, 13, 2/9, 7/9] 操作後 derived = [108/7, 117/7, 是] 條件：無 有限和S_N=A(1-r^N)/(1-r)，乘(1-r)可逐項相消；r^N→0給tail和A/(1-r)，B同理。非負a的部分和遞增且由已收斂b的和控制，故收斂；不是以有限項近似代替∀n。 步驟識別與依賴規則：Series_GENERAL_geometric_partial_sum_limit_and_upper_comparison · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Series ORIGINAL totalA prefix plus tail := sum(12, 108/7) 操作後 Series ORIGINAL totalA prefix plus tail = 192/7 條件：無 以原始角色精確代值並保留符號運算；不用浮點近似，也不因額外教學運算縮小原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [1, 12, 1, 108/7, 117/7] 操作後 derived = [192/7, 是] 條件：無 從足夠大N起，總部分和=固定prefix和+tail部分和；加固定有限數保極限，故A收斂。只比較tail，不宣稱兩個全級數總和有序，也不替未輸出的totalB加來源數值限制。 步驟識別與依賴規則：Series_finite_prefix_preserves_tail_convergence_NOT_total_order · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL totalA prefix plus tail，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL geometric tailB，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL geometric tailA，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series ORIGINAL one minus ratio，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series prefixB ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Series prefixA ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 ## 結論 (1, 12, 1, 108/7, 117/7, 192/7, 是, finite_prefix_does_not_change_tail_convergence) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 3263c1112ad601a91a7143887c35d91d45f0828b3a3ed50f8707cae52e6bc14b - candidate record SHA-256: af17863b4444b9431407f6ed8055b9052d43cc97749e4a7abbc80242b5c6b96d - semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252 - question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261117-r01-series-comparison-test-0062.json)