# 第 194 題：級數比值判別法

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

P250-0194 · q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0019



## 原題與已知條件

eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-nonconstant-convergent；資料={"scale":19,"ratio":[4,10],"shift":19,"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-nonconstant-convergent；資料={"scale":19,"ratio":[4,10],"shift":19,"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

A>0、0<r<1、s≥1 且 n≥0；明示的誤差界、歸納與幾何界支持整個尾端。


- [mko-ratio-test-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-test-series/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

a_n=19*(2/5)^n/(n+19)

操作後

|a_n|=19·(2/5)^n/(n+19)>0 for every integer n≥0

條件：n≥0; A=19>0; 0<r=2/5<1; s=19≥1

整個有理數底數都被 n 次方；若有交錯符號，其絕對值為 1。

步驟識別與依賴規則：absolute_value · 依賴：G001





S002 · implies操作前

|a_n|=19·(2/5)^n/(n+19)

操作後

|a_(n+1)|=19·(2/5)^(n+1)/(n+20)

條件：無

每個出現 n 的位置都加 1，包括分母的平移。

步驟識別與依賴規則：index_shift · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

|a_(n+1)| / |a_n|

操作後

abs_ratio=2/5*(n+19)/(n+20)

條件：無

把除法改乘倒數，約去 A 與 r^n；前一步已證所約掉的量皆非零。

步驟識別與依賴規則：positive_factor_cancellation · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

abs_ratio=2/5*(n+19)/(n+20)

操作後

R_n=2/5−(2/5)/(n+20); |R_n−r|=(2/5)/(n+20)

條件：無

將分子寫成分母減 1，就把極限問題化成明確的正誤差。

步驟識別與依賴規則：rational_error_identity · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

epsilon>0; N=floor(r/epsilon)+1

操作後

n≥N ⇒ n+20>r/epsilon ⇒ |R_n−r|<epsilon

條件：epsilon>0

由實數 Archimedean 性，這個整數 N 存在；正數取倒數反向，所以控制的是全部尾端而非有限樣本。

步驟識別與依賴規則：archimedean_tail · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

q−r := sub(7/10, 2/5)

操作後

q−r = 3/10

條件：無

取 q=(r+1)/2；先核對 q 嚴格大於 r。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

1−q := sub(1, 7/10)

操作後

1−q = 3/10

條件：無

再核對 q 嚴格小於 1。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

|a_0| := div(19, 19)

操作後

|a_0| = 1

條件：無

n=0 時底數的零次方為 1，因此求出幾何控制的起始常數。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

0<R_n<r=2/5<q=7/10<1

操作後

|a_n|≤(1)·(7/10)^n for every n≥0

條件：無

n=0 時為等號；若第 n 項受控，乘上 R_n<q 即控制第 n+1 項。由歸納法取得全部 n 的界。

步驟識別與依賴規則：inductive_geometric_domination · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

sum from k=0 to M of |a_k| ≤ (1)·(1−(7/10)^(M+1))/(1−(7/10))

操作後

all absolute partial sums ≤ 10/3

條件：無

因 0<q<1，有限幾何和有此上界；絕對值部分和又單調遞增，依實數完備性收斂。

步驟識別與依賴規則：finite_geometric_sum · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

M>N≥0

操作後

sum from k=N+1 to M of |a_k| ≤ (1)·(7/10)^(N+1)/(1−(7/10)) → 0

條件：無

同一幾何界還給出任意兩個尾端部分和之差的上界，說明為什麼整個級數絕對收斂。

步驟識別與依賴規則：tail_bound · 依賴：G001, S010









## 逐步反向核對


- S011 · premise_and_result_audit — 結論對有無交錯符號均成立，但不求本題未要求的級數精確和。
- S010 · premise_and_result_audit — 這裡使用單調有界收斂與幾何和作為明示前提，不宣稱 Lean 已證。
- S009 · premise_and_result_audit — 此為明示的歸納推論，不把檢查若干比值當成無限尾端證明。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 |a_0|，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 1−q，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 q−r，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — N 只依 epsilon 與固定參數，不依之後選的 n。
- S004 · premise_and_result_audit — 趨零的是誤差，不是分母；分母隨 n 增大。
- S003 · premise_and_result_audit — 保留絕對比值；不是用可能為負的有號相鄰比。
- S002 · premise_and_result_audit — 不可只改指數而保留原分母。
- S001 · premise_and_result_audit — 正的 A、r 與 n+s 保證後面每次比值的分母都不為零。





## 結論

(19, 2/5, 19, 否, a_n=19*(2/5)^n/(n+19), abs_ratio=2/5*(n+19)/(n+20), limit=2/5, 7/10, 是, eventual_geometric_domination, absolutely_convergent)

此級數絕對收斂，且已給出共同尾端的幾何控制。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f22aaa2d63cab570dd9396543d80c782bf205363ea1e6904be05e901dd20c561
- candidate record SHA-256: cee885029f5bfab667eff3a5ef94de83b4601ce9504ceeaac591799a0396747f
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0019.json)