# 第 703 題：級數比值判別法

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P1000-0703 · q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0028



## 原題與已知條件

eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-geometric-divergent；資料={"scale":3,"ratio":[8,5],"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-geometric-divergent；資料={"scale":3,"ratio":[8,5],"alternating":false}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

A>0、|r|>1 的幾何項；|a_n|≥A，項不趨於 0，故級數發散。


- [mko-ratio-test-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-test-series/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

A=3>0; r=8/5>1; alternating=否

操作後

|a_n|=3·(8/5)^n

條件：無

可能的交錯符號在絕對值中消失，底數的整體被乘方。

步驟識別與依賴規則：absolute_geometric_term · 依賴：G001





S002 · implies操作前

|a_(n+1)|/|a_n|=(3·(8/5)^(n+1))/(3·(8/5)^n)

操作後

absolute ratio=8/5

條件：無

A與r均為正，所以可約掉整個非零公因子。

步驟識別與依賴規則：cancel_nonzero_factors · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

r=8/5>1

操作後

|a_n|≥A=3>0 for every n≥0

條件：無

取epsilon=A/2，沒有任何尾端能使所有項的絕對值小於epsilon。

步驟識別與依賴規則：nonzero_term_obstruction · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

convergent series ⇒ its terms tend to0

操作後

these terms do not tend to0 ⇒ series diverges

條件：無

收斂部分和之差a_n必趨零；本題違反此必要條件。

步驟識別與依賴規則：necessary_term_limit · 依賴：G001, S003









## 逐步反向核對


- S004 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S003 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S002 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S001 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。





## 結論

(3, 8/5, 否, 8/5, terms_do_not_tend_to_zero, divergent)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 53569c5bf5d75d4b2a85e60836fd07f94fa24d0f503127768c764ccd6290b731
- candidate record SHA-256: 1c1357f653409845c6d3fdbbdb7d56850a7e0bf511dd86621adc040f809ed433
- semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772
- question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0028.json)