# 第 728 題：級數比值判別法

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P1000-0728 · q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0053



## 原題與已知條件

eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-limit-one-inconclusive；資料={"exponent":1,"shift":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — eventually nonzero、absolute successive ratio與limit存在責任。操作=ratio-limit-one-inconclusive；資料={"exponent":1,"shift":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

p=1 與 p=2 的比值極限都是 1；分類來自調和區塊與望遠鏡上界，比值判別無結論。


- [mko-ratio-test-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-test-series/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

a_n=1/(n+3)^1, n≥0

操作後

|a_(n+1)/a_n|=((n+3)/(n+4))^1

條件：無

先用完整正項公式推導相鄰絕對比值。

步驟識別與依賴規則：successive_ratio · 依賴：G001





S002 · implies操作前

(n+3)/(n+4)=1−1/(n+4)

操作後

ratio limit=1

條件：無

分母增大使相對誤差趨零；不是分母趨零。

步驟識別與依賴規則：rational_ratio_limit · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

k=n+s; block k=s·2^j through s·2^(j+1)−1

操作後

s·2^j terms, each >1/(s·2^(j+1))

條件：無

每個完整dyadic區塊的項數與分母界都明確。

步驟識別與依賴規則：harmonic_block_count · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

block sum > (s·2^j)/(s·2^(j+1))

操作後

every block sum >1/2; J blocks sum >J/2

條件：無

區塊數可任意增大，部分和無上界；有限起點s不改此結論。

步驟識別與依賴規則：unbounded_harmonic_partials · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

same ratio limit1 for both exponent families

操作後

L=1 alone does not decide convergence

條件：無

真正分類由上述獨立的全尾端論證給出，不是由比值極限1給出。

步驟識別與依賴規則：inconclusive_ratio_boundary · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S004 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S003 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S002 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。
- S001 · premise_and_result_audit — 有限核對不證無限尾端；本步的量詞、非零分母與絕對值條件仍須保留。





## 結論

(1, 3, abs_ratio=((n+3)/(n+4))^1, 1, divergent_harmonic_tail, L_equal_one_is_inconclusive)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 493f63c26c043d1229f8779f3c4a60e424da3f267881f2837153bdcc8a7244ca
- candidate record SHA-256: 644f0eb4934684ea90aa6e967f1fc726877c0ea875bdef0bf7dfdf35ed911b0c
- semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772
- question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261117-r02-ratio-test-series-0053.json)