# 第 26760 題：有限乘積拓撲

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R0052-26760 · q-20261015-advance-20261117-r04-finite-product-topology-0010



## 原題與已知條件

完整finite factor topologies、Cartesian carrier與rectangle-union生成責任。操作=product-rectangle-generation；資料={"x_points":[0,1,2,3],"x_topology":[[],[0,1,2,3],[0,2],[0]],"y_points":[100,101],"y_topology":[[],[100,101]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 完整finite factor topologies、Cartesian carrier與rectangle-union生成責任。操作=product-rectangle-generation；資料={"x_points":[0,1,2,3],"x_topology":[[],[0,1,2,3],[0,2],[0]],"y_points":[100,101],"y_topology":[[],[100,101]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-product-topology](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-product-topology/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [product-rectangle-generation]

操作後

derived = [[points, rectangles, topology, rectangle_count, open_count, valid, certificate]]

條件：無

直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL X, [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 2], [0]], 否]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 2], [0]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 15, 0, 是, 是], [0, 2, 5, 0, 是, 是], [0, 3, 1, 0, 是, 是], [1, 0, 15, 0, 是, 是], [1, 1, 15, 15, 是, 是], [1, 2, 15, 5, 是, 是], [1, 3, 15, 1, 是, 是], [2, 0, 5, 0, 是, 是], [2, 1, 15, 5, 是, 是], [2, 2, 5, 5, 是, 是], [2, 3, 5, 1, 是, 是], [3, 0, 1, 0, 是, 是], [3, 1, 15, 1, 是, 是], [3, 2, 5, 1, 是, 是], [3, 3, 1, 1, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL Y, [100, 101], [[], [100, 101]], 否]

操作後

derived = [[100, 101], [[], [100, 101]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 3, 0, 是, 是], [1, 0, 3, 0, 是, 是], [1, 1, 3, 3, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 2], [0]], [100, 101], [[], [100, 101]]]

操作後

derived = [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []]]

條件：無

列全部typed ordered pairs及全部U×V基底矩形，重複空矩形合併；rectangle界限是來源計算profile，不是一般定理限制。

步驟識別與依賴規則：Product_typed_cartesian_carrier_AND_ALL_basic_rectangles · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [0, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[]]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [1, [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [2, [[0, 100], [0, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [3, [], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [product GENERATED all-union topology, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []], 是]

操作後

derived = [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []], [[0, 0, 255, 255, 是, 是], [0, 1, 255, 51, 是, 是], [0, 2, 255, 3, 是, 是], [0, 3, 255, 0, 是, 是], [1, 0, 255, 51, 是, 是], [1, 1, 51, 51, 是, 是], [1, 2, 51, 3, 是, 是], [1, 3, 51, 0, 是, 是], [2, 0, 255, 3, 是, 是], [2, 1, 51, 3, 是, 是], [2, 2, 3, 3, 是, 是], [2, 3, 3, 0, 是, 是], [3, 0, 255, 0, 是, 是], [3, 1, 51, 0, 是, 是], [3, 2, 3, 0, 是, 是], [3, 3, 0, 0, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S008









## 逐步反向核對


- S009 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S008 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S007 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。





## 結論

([[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [2, 100], [2, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []], 4, 4, 是, rectangles_generate_opens_by_arbitrary_unions)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: feb3c44862094a5bac76df6f026540c54c4477f3a2ba85e08784a0140381faf5
- candidate record SHA-256: f10aa7fae600ff823bb93968682ddac36b2f947641524516f9b40169f30911e4
- semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252
- question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261117-r04-finite-product-topology-0010.json)