# 第 26707 題：有限乘積拓撲

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R0052-26707 · q-20261015-advance-20261117-r04-finite-product-topology-0057



## 原題與已知條件

完整finite factor topologies、Cartesian carrier與rectangle-union生成責任。操作=product-coordinate-criterion；資料={"z_points":[0,1],"z_topology":[[],[0,1]],"x_points":[0,1,2,3],"x_topology":[[],[0,1,2,3],[0,1],[0],[1]],"y_points":[100,101],"y_topology":[[],[100,101]],"map_x":[0,1],"map_y":[100,101]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 完整finite factor topologies、Cartesian carrier與rectangle-union生成責任。操作=product-coordinate-criterion；資料={"z_points":[0,1],"z_topology":[[],[0,1]],"x_points":[0,1,2,3],"x_topology":[[],[0,1,2,3],[0,1],[0],[1]],"y_points":[100,101],"y_topology":[[],[100,101]],"map_x":[0,1],"map_y":[100,101]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-product-topology](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-product-topology/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [product-coordinate-criterion]

操作後

derived = [[first_continuous, second_continuous, paired_continuous, equivalence, paired_rows, certificate]]

條件：無

直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL X, [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1], [0], [1]], 否]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1], [0], [1]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 15, 0, 是, 是], [0, 2, 3, 0, 是, 是], [0, 3, 1, 0, 是, 是], [0, 4, 2, 0, 是, 是], [1, 0, 15, 0, 是, 是], [1, 1, 15, 15, 是, 是], [1, 2, 15, 3, 是, 是], [1, 3, 15, 1, 是, 是], [1, 4, 15, 2, 是, 是], [2, 0, 3, 0, 是, 是], [2, 1, 15, 3, 是, 是], [2, 2, 3, 3, 是, 是], [2, 3, 3, 1, 是, 是], [2, 4, 3, 2, 是, 是], [3, 0, 1, 0, 是, 是], [3, 1, 15, 1, 是, 是], [3, 2, 3, 1, 是, 是], [3, 3, 1, 1, 是, 是], [3, 4, 3, 0, 是, 是], [4, 0, 2, 0, 是, 是], [4, 1, 15, 2, 是, 是], [4, 2, 3, 2, 是, 是], [4, 3, 3, 0, 是, 是], [4, 4, 2, 2, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL Y, [100, 101], [[], [100, 101]], 否]

操作後

derived = [[100, 101], [[], [100, 101]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 3, 0, 是, 是], [1, 0, 3, 0, 是, 是], [1, 1, 3, 3, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1], [0], [1]], [100, 101], [[], [100, 101]]]

操作後

derived = [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

列全部typed ordered pairs及全部U×V基底矩形，重複空矩形合併；rectangle界限是來源計算profile，不是一般定理限制。

步驟識別與依賴規則：Product_typed_cartesian_carrier_AND_ALL_basic_rectangles · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [0, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[]]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [1, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [2, [[0, 100], [0, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [3, [[1, 100], [1, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

source roles = [4, [], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

操作後

derived = [[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []]]

條件：無

加入此矩形時保留舊union並加入每個舊union與它的聯集；歸納後正是全部rectangle子族的union，不能只把矩形叫成所有開集。

步驟識別與依賴規則：Product_EACH_rectangle_ALL_unions_induction · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [product GENERATED all-union topology, [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], 是]

操作後

derived = [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], [[0, 0, 255, 255, 是, 是], [0, 1, 255, 15, 是, 是], [0, 2, 255, 3, 是, 是], [0, 3, 255, 12, 是, 是], [0, 4, 255, 0, 是, 是], [1, 0, 255, 15, 是, 是], [1, 1, 15, 15, 是, 是], [1, 2, 15, 3, 是, 是], [1, 3, 15, 12, 是, 是], [1, 4, 15, 0, 是, 是], [2, 0, 255, 3, 是, 是], [2, 1, 15, 3, 是, 是], [2, 2, 3, 3, 是, 是], [2, 3, 15, 0, 是, 是], [2, 4, 3, 0, 是, 是], [3, 0, 255, 12, 是, 是], [3, 1, 15, 12, 是, 是], [3, 2, 15, 0, 是, 是], [3, 3, 12, 12, 是, 是], [3, 4, 12, 0, 是, 是], [4, 0, 255, 0, 是, 是], [4, 1, 15, 0, 是, 是], [4, 2, 3, 0, 是, 是], [4, 3, 12, 0, 是, 是], [4, 4, 0, 0, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL Z, [0, 1], [[], [0, 1]], 否]

操作後

derived = [[0, 1], [[], [0, 1]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 3, 0, 是, 是], [1, 0, 3, 0, 是, 是], [1, 1, 3, 3, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL coordinate x, [0, 1], [[], [0, 1]], [0, 1, 2, 3], [[], [0, 1, 2, 3], [0, 1], [0], [1]], [[0, 0], [1, 1]]]

操作後

derived = [[[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1], 是], [[0, 1], [0, 1], 是], [[0], [0], 否], [[1], [1], 否]], 否]

條件：無

連續性逐所有target開集的完整反像驗證，不是只看單點、image開集或有限samples。map先依原始domain對齊image，再連同image排序。

步驟識別與依賴規則：Continuity_ALL_target_open_preimages · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [product ORIGINAL coordinate y, [0, 1], [[], [0, 1]], [100, 101], [[], [100, 101]], [[0, 100], [1, 101]]]

操作後

derived = [[[[], [], 是], [[100, 101], [0, 1], 是]], 是]

條件：無

連續性逐所有target開集的完整反像驗證，不是只看單點、image開集或有限samples。map先依原始domain對齊image，再連同image排序。

步驟識別與依賴規則：Continuity_ALL_target_open_preimages · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [product ACTUAL paired map, [0, 1], [[], [0, 1]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [[0, 100], [0, 101]], [[1, 100], [1, 101]], []], [[0, [0, 100]], [1, [1, 101]]]]

操作後

derived = [[[[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101], [2, 100], [2, 101], [3, 100], [3, 101]], [0, 1], 是], [[[0, 100], [0, 101], [1, 100], [1, 101]], [0, 1], 是], [[[0, 100], [0, 101]], [0], 否], [[[1, 100], [1, 101]], [1], 否], [[], [], 是]], 否]

條件：無

連續性逐所有target開集的完整反像驗證，不是只看單點、image開集或有限samples。map先依原始domain對齊image，再連同image排序。

步驟識別與依賴規則：Continuity_ALL_target_open_preimages · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

source roles = [[[0, 0], [1, 1]], [[0, 100], [1, 101]], [[0, [0, 100]], [1, [1, 101]]]]

操作後

derived = [否, 是, 否, 是]

條件：無

若兩座標連續，rectangle反像是兩開反像的交，任意union的反像仍open；反向由projection與paired map合成。False/False/False仍可給IFF為True，不把等價誤當都連續。

步驟識別與依賴規則：Product_GENERAL_coordinate_IFF_via_rectangles_AND_projections · 依賴：G001, S014









## 逐步反向核對


- S015 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S014 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S013 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S012 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S011 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S010 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S009 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S008 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S007 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
- S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。





## 結論

(否, 是, 否, 是, [[0, [0, 100]], [1, [1, 101]]], map_into_finite_product_continuous_iff_coordinates_continuous)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: bdbf4de2abad1d2c31e17a67b82035d4281a73470b234321b355b6dcc308168b
- candidate record SHA-256: 6a3d3acafa0e522a8f1eb98fe226122b87af74e9d3a54006cbc909b5cd33c24e
- semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252
- question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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