# 第 26856 題：商拓撲 [返回所在分頁 135](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/135/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261117-r05-quotient-topology-foundations/#q-20261015-advance-20261117-r05-quotient-topology-0081) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0052-26856 · q-20261015-advance-20261117-r05-quotient-topology-0081 ## 原題與已知條件 finite total surjection、fibers與U open iff q-preimage(U) open責任。操作=quotient-topology-boundary；資料={"mode":"open_image_error","model":{"x_points":[0,1,2,3,4],"x_topology":[[],[1],[0,1,2,3,4]],"y_points":["a","b"],"q_map":["a","a","a","b","b"],"subset":[1]}}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — finite total surjection、fibers與U open iff q-preimage(U) open責任。操作=quotient-topology-boundary；資料={"mode":"open_image_error","model":{"x_points":[0,1,2,3,4],"x_topology":[[],[1],[0,1,2,3,4]],"y_points":["a","b"],"q_map":["a","a","a","b","b"],"subset":[1]}}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quotient-topology](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-topology/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [quotient-topology-boundary] 操作後 derived = [[mode, subset, source_open, image, saturation, image_open, open_map_claim, certificate]] 條件：無 直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [quotient ORIGINAL X, [0, 1, 2, 3, 4], [[], [1], [0, 1, 2, 3, 4]], 否] 操作後 derived = [[0, 1, 2, 3, 4], [[], [0, 1, 2, 3, 4], [1]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 31, 0, 是, 是], [0, 2, 2, 0, 是, 是], [1, 0, 31, 0, 是, 是], [1, 1, 31, 31, 是, 是], [1, 2, 31, 2, 是, 是], [2, 0, 2, 0, 是, 是], [2, 1, 31, 2, 是, 是], [2, 2, 2, 2, 是, 是]]] 條件：無 保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。 步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3, 4], [a, b], [a, a, a, b, b]] 操作後 derived = [[[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b]], [[a, [0, 1, 2]], [b, [3, 4]]], 是] 條件：無 依原始X次序綁定q再排序，對每個typed Y點取完整fiber。total map保每個x恰屬一fiber；surjective才保每fiber非空。 步驟識別與依賴規則：Quotient_ORIGINAL_domain_alignment_ALL_fibers · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3, 4], [[], [0, 1, 2, 3, 4], [1]], [a, b], [[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b]]] 操作後 derived = [[[0, [], [], 是], [1, [a], [0, 1, 2], 否], [2, [b], [3, 4], 否], [3, [a, b], [0, 1, 2, 3, 4], 是]], [[a, b], []]] 條件：無 逐Y的所有subsets，以完整反像在X是否open定義IFF。反像保空、全集、任意union與有限intersection，故生成topology且此IFF逐subset唯一決定它；此唯一性不需要surjection。 步驟識別與依賴規則：Quotient_ALL_target_subsets_PREIMAGE_IFF_unique_final_topology · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [quotient GENERATED final topology, [a, b], [[a, b], []], 否] 操作後 derived = [[a, b], [[a, b], []], [[0, 0, 3, 3, 是, 是], [0, 1, 3, 0, 是, 是], [1, 0, 3, 0, 是, 是], [1, 1, 0, 0, 是, 是]]] 條件：無 保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。 步驟識別與依賴規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[[], [0, 1, 2, 3, 4], [1]], [[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b]]] 操作後 derived = [[[], [0, 1, 2, 3, 4]], 是] 條件：無 source opens依原canonical序逐一核A=q^-1(q(A))；只有saturated opens才對應完整fiber聯集。surjective時q^-1在Y subsets上單射，與這些opens互逆，不能把所有source opens當商開集。 步驟識別與依賴規則：Quotient_ALL_source_open_saturation_correspondence · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [[1], [[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b]], [[], [0, 1, 2, 3, 4], [1]], [[a, b], []]] 操作後 derived = [[a], [0, 1, 2], 否, 是, 否] 條件：無 先取q(A)，再取其完整反像；若切開某fiber，saturation嚴格擴大。source open不保image open；image的openness須驗saturation，不是A本身。 步驟識別與依賴規則：Quotient_actual_subset_image_FULL_saturation_separate_openness · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。 ## 結論 (open_image_error, [1], 是, [a], [0, 1, 2], 否, 否, quotient_maps_need_not_be_open) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: fe4fdcf238aa2581c0729251a3f8c4af36addb2559484c0da4db1410ab823b47 - candidate record SHA-256: e6406a2689be1cdb51670b3335c13d4427f39401852fe7419640bcbdf3d85613 - semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252 - question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261117-r05-quotient-topology-0081.json)