# 第 27224 題：有限變異數IID中央極限定理

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0053-27224 · q-20261015-advance-20261118-r01-central-limit-theorem-finite-variance-iid-0099



## 原題與已知條件

明示無限IID、共同mu、0<sigma^2<infinity與sigma*sqrt(n)標準化責任。操作=clt-application-boundary；資料={"mode":"wrong_scaling","model":{"values":[1,2],"probabilities":[[1,5],[4,5]],"process_certificate":"infinite_iid","n":5}}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 明示無限IID、共同mu、0<sigma^2<infinity與sigma*sqrt(n)標準化責任。操作=clt-application-boundary；資料={"mode":"wrong_scaling","model":{"values":[1,2],"probabilities":[[1,5],[4,5]],"process_certificate":"infinite_iid","n":5}}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [clt-application-boundary]

操作後

derived = [[mode, mean, variance, n, proposed_denominator, required_denominator, proposed_scaling_claim]]

條件：無

此頁直接列完整來源欄序與mode特定角色，不靠JavaScript或由答案外形猜介面；No、undefined、infinity各保原意。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [infinite_iid]

操作後

derived = [ASSUME infinite sequence is IID with this common marginal]

條件：無

infinite_iid是明示無限過程前提token，並非這個有限計算已構造或驗證無限independence。後續使用該前提作條件式數學推論。

步驟識別與依賴規則：CLT_infinite_iid_is_EXACT_GIVEN_premise_not_constructed_process · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL law mass sum0 := sum(0, 1/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL law mass sum0 = 1/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL law mass sum1 := sum(1/5, 4/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL law mass sum1 = 1

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

source roles = [CLT ORIGINAL conditional marginal, [1, 2], [[1, 5], [4, 5]]]

操作後

derived = [[[1, 1/5], [2, 4/5]], 1]

條件：無

原始values與probabilities先配對再numeric排序，保留零機率label並核全部law質量1。這是有限marginal qualification，不是由samples證無限IID。

步驟識別與依賴規則：CLT_ORIGINAL_value_probability_pairs_NUMERIC_order_normalized · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL value times probability0 := mul(1, 1/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL value times probability0 = 1/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending mean sum0 := sum(0, 1/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending mean sum0 = 1/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal exact value square0 := mul(1, 1)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal exact value square0 = 1

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL square times probability0 := mul(1, 1/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL square times probability0 = 1/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending second moment sum0 := sum(0, 1/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending second moment sum0 = 1/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL value times probability1 := mul(2, 4/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL value times probability1 = 8/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending mean sum1 := sum(1/5, 8/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending mean sum1 = 9/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal exact value square1 := mul(2, 2)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal exact value square1 = 4

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL square times probability1 := mul(4, 4/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL square times probability1 = 16/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending second moment sum1 := sum(1/5, 16/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending second moment sum1 = 17/5

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL mean square := mul(9/5, 9/5)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL mean square = 81/25

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL second minus mean square := sub(17/5, 81/25)

操作後

CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL second minus mean square = 4/25

條件：無

逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

source roles = [CLT ORIGINAL conditional marginal, [[1, 1/5], [2, 4/5]]]

操作後

derived = [9/5, 17/5, 4/25]

條件：無

E[X]、E[X²]與Var(X)=E[X²]-E[X]²都用同一完整law。value²先保精確教學量，再乘prob才照來源檢profile，不把null outcome的大value²額外拒絕。有限矩不證independence、無限過程或分布極限。

步驟識別與依賴規則：CLT_ALL_finite_marginal_moments_not_a_process_or_limit_proof · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

source roles = [wrong_scaling, 9/5, 4/25, 5]

操作後

derived = [wrong_scaling, 9/5, 4/25, 5, denominator=n*sigma, required=sigma*sqrt(n), 否]

條件：無

標準化分母須sigma*sqrt(n)，因Var(S_n)=n*sigma²；n*sigma作為一般n的公式不同，但n=1可巧合相同，No不宣稱本次兩個數必不等。單一有限histogram即使看起來normal，也不證所有n的分布極限。

步驟識別與依賴規則：CLT_original_wrong_scale_or_finite_evidence_inference_boundary · 依賴：G001, S018









## 逐步反向核對


- S019 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
- S018 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL second minus mean square，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL mean square，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending second moment sum1，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL square times probability1，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal exact value square1，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending mean sum1，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL value times probability1，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending second moment sum0，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL square times probability0，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal exact value square0，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL ascending mean sum0，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL value times probability0，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL law mass sum1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CLT ORIGINAL conditional marginal ORIGINAL law mass sum0，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。
- S001 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。





## 結論

(wrong_scaling, 9/5, 4/25, 5, denominator=n*sigma, required=sigma*sqrt(n), 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: edefa987438d9b0811219e2aa2382e867a9a5908e8fb38a7d5e1a7300e61ad93
- candidate record SHA-256: ebaef43ad5ace92cf1ee57ed8a680e03780c7ab6632138a86ce06abb881e659e
- semantic review receipt SHA-256: 1b7a62514347b82518305d5feb4369a52d7d44c442a0f2b131e9eb3cd7b45f62
- question-first witness SHA-256: 79dc2a1077081f3ea2a03f75e32778163bf05e814cdf4c29ed86e567295f9ee1
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261118-r01-central-limit-theorem-finite-variance-iid-0099.json)