# 第 27758 題：Wilson定理 [返回所在分頁 139](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/139/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0008) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27758 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0008 ## 原題與已知條件 n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-domain-factorial；資料={"n":9}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-domain-factorial；資料={"n":9}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-wilson-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-wilson-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [wilson-domain-factorial] 操作後 derived = [[n, prime, running_factorial_residues, factorial_residue, minus_one_residue, Wilson_congruence, instance_equivalence, instance_scope]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 1, 1, 1] 操作後 derived = [0, 1, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 2, 1, 2] 操作後 derived = [0, 2, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 := mul(2, 3) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 3, 2, 6] 操作後 derived = [0, 6, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 := mul(6, 4) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 = 24 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 4, 6, 24] 操作後 derived = [2, 6, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 := mul(6, 5) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 = 30 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 5, 6, 30] 操作後 derived = [3, 3, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 := mul(3, 6) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 = 18 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 6, 3, 18] 操作後 derived = [2, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 := mul(0, 7) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 7, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 := mul(0, 8) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 9, 8, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [9, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 6], [5, 3], [6, 0], [7, 0], [8, 0]]] 操作後 derived = [否, 0, 8, 否, 是] 條件：無 prime與congruence分別驗；合數時兩者都False也可equivalenceTrue。一般converse另有理由：若合數有proper divisor d>=2，d同除n與(n-1)!；假設後者≡-1 mod n便使d除1，矛盾。此推理不等於一個有限instance或finite cutoff測試。 步驟識別與依賴規則：Wilson_prime_classification_instance_flags_AND_separate_converse_reason · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 (9, 否, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 6], [5, 3], [6, 0], [7, 0], [8, 0]], 0, 8, 否, 是, Wilson_equivalence_instance) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0756e571bd36f0c8e6392131f58f95faebe568e3c4acb59af14bc5b8770987a4 - candidate record SHA-256: 2699e041ef7a3fe701d0765312ad386d62d418bdb98601d994b59a0f6f7ef0b3 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0008.json)