# 第 27779 題：Wilson定理 [返回所在分頁 139](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/139/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0029) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27779 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0029 ## 原題與已知條件 n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-prime-inverse-pairing；資料={"p":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-prime-inverse-pairing；資料={"p":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-wilson-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-wilson-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [wilson-prime-inverse-pairing] 操作後 derived = [[p, all_inverse_pairs, self_inverse_residues, distinct_cancelling_pairs, self_inverse_scope, factorial_residue, Wilson_congruence]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [7, 1] 操作後 derived = [1, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [7, 2] 操作後 derived = [4, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [7, 3] 操作後 derived = [5, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [7, 4] 操作後 derived = [2, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [7, 5] 操作後 derived = [3, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [7, 6] 操作後 derived = [6, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 7, 1, 1, 1] 操作後 derived = [0, 1, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 7, 2, 1, 2] 操作後 derived = [0, 2, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product3 := mul(2, 3) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product3 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 7, 3, 2, 6] 操作後 derived = [0, 6, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product4 := mul(6, 4) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product4 = 24 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 7, 4, 6, 24] 操作後 derived = [3, 3, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product5 := mul(3, 5) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product5 = 15 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 7, 5, 3, 15] 操作後 derived = [2, 1, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product6 := mul(1, 6) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product6 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 7, 6, 1, 6] 操作後 derived = [0, 6, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [7, [[1, 1], [2, 4], [3, 5], [4, 2], [5, 3], [6, 6]]] 操作後 derived = [[1, 6], [[2, 4, 1], [3, 5, 1]], 6, 是] 條件：無 非self-inverse成對相乘1；self-inverse解(r-1)(r+1)=0 mod prime，故只±1。p>2相異乘積-1；p2僅1=-1一個。這是一般教學理由，有限表／本程式不冒稱Lean proof。 步驟識別與依賴規則：Wilson_GENERAL_inverse_pairing_and_p2_exception · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product6，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product5，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product4，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product3，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 (7, [[1, 1], [2, 4], [3, 5], [4, 2], [5, 3], [6, 6]], [1, 6], [[2, 4, 1], [3, 5, 1]], self_inverse_residues_1_and_p_minus_1, 6, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0ef78b541b9caee28ca0f3c89acbb53e3abf98f7a50bbe00e62cb8c9ef266eea - candidate record SHA-256: 4de4020dca268f7958f906b6bebeb850fba174209cd63a42375cabbfd1893240 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0029.json)