# 第 27787 題：Wilson定理 [返回所在分頁 139](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/139/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0037) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27787 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0037 ## 原題與已知條件 n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-prime-inverse-pairing；資料={"p":37}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-prime-inverse-pairing；資料={"p":37}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-wilson-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-wilson-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [wilson-prime-inverse-pairing] 操作後 derived = [[p, all_inverse_pairs, self_inverse_residues, distinct_cancelling_pairs, self_inverse_scope, factorial_residue, Wilson_congruence]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [37, 1] 操作後 derived = [1, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [37, 2] 操作後 derived = [19, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [37, 3] 操作後 derived = [25, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [37, 4] 操作後 derived = [28, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [37, 5] 操作後 derived = [15, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [37, 6] 操作後 derived = [31, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [37, 7] 操作後 derived = [16, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [37, 8] 操作後 derived = [14, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [37, 9] 操作後 derived = [33, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [37, 10] 操作後 derived = [26, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [37, 11] 操作後 derived = [27, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [37, 12] 操作後 derived = [34, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [37, 13] 操作後 derived = [20, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [37, 14] 操作後 derived = [8, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [37, 15] 操作後 derived = [5, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [37, 16] 操作後 derived = [7, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [37, 17] 操作後 derived = [24, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [37, 18] 操作後 derived = [35, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [37, 19] 操作後 derived = [2, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [37, 20] 操作後 derived = [13, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [37, 21] 操作後 derived = [30, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [37, 22] 操作後 derived = [32, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [37, 23] 操作後 derived = [29, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [37, 24] 操作後 derived = [17, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [37, 25] 操作後 derived = [3, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [37, 26] 操作後 derived = [10, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [37, 27] 操作後 derived = [11, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 source roles = [37, 28] 操作後 derived = [4, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 source roles = [37, 29] 操作後 derived = [23, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 source roles = [37, 30] 操作後 derived = [21, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 source roles = [37, 31] 操作後 derived = [6, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 source roles = [37, 32] 操作後 derived = [22, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [37, 33] 操作後 derived = [9, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 source roles = [37, 34] 操作後 derived = [12, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 source roles = [37, 35] 操作後 derived = [18, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 source roles = [37, 36] 操作後 derived = [36, 1] 條件：無 prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 1, 1, 1] 操作後 derived = [0, 1, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 2, 1, 2] 操作後 derived = [0, 2, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product3 := mul(2, 3) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product3 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 3, 2, 6] 操作後 derived = [0, 6, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product4 := mul(6, 4) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product4 = 24 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 4, 6, 24] 操作後 derived = [0, 24, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product5 := mul(24, 5) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product5 = 120 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 5, 24, 120] 操作後 derived = [3, 9, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product6 := mul(9, 6) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product6 = 54 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 6, 9, 54] 操作後 derived = [1, 17, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product7 := mul(17, 7) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product7 = 119 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 7, 17, 119] 操作後 derived = [3, 8, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product8 := mul(8, 8) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product8 = 64 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 8, 8, 64] 操作後 derived = [1, 27, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product9 := mul(27, 9) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product9 = 243 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 9, 27, 243] 操作後 derived = [6, 21, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product10 := mul(21, 10) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product10 = 210 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 10, 21, 210] 操作後 derived = [5, 25, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product11 := mul(25, 11) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product11 = 275 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 11, 25, 275] 操作後 derived = [7, 16, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product12 := mul(16, 12) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product12 = 192 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 12, 16, 192] 操作後 derived = [5, 7, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product13 := mul(7, 13) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product13 = 91 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 13, 7, 91] 操作後 derived = [2, 17, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product14 := mul(17, 14) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product14 = 238 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 14, 17, 238] 操作後 derived = [6, 16, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product15 := mul(16, 15) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product15 = 240 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 15, 16, 240] 操作後 derived = [6, 18, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product16 := mul(18, 16) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product16 = 288 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 16, 18, 288] 操作後 derived = [7, 29, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product17 := mul(29, 17) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product17 = 493 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 17, 29, 493] 操作後 derived = [13, 12, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product18 := mul(12, 18) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product18 = 216 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 18, 12, 216] 操作後 derived = [5, 31, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product19 := mul(31, 19) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product19 = 589 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 19, 31, 589] 操作後 derived = [15, 34, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product20 := mul(34, 20) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product20 = 680 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 20, 34, 680] 操作後 derived = [18, 14, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product21 := mul(14, 21) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product21 = 294 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 21, 14, 294] 操作後 derived = [7, 35, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product22 := mul(35, 22) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product22 = 770 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 22, 35, 770] 操作後 derived = [20, 30, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product23 := mul(30, 23) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product23 = 690 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 23, 30, 690] 操作後 derived = [18, 24, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product24 := mul(24, 24) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product24 = 576 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 24, 24, 576] 操作後 derived = [15, 21, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product25 := mul(21, 25) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product25 = 525 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 25, 21, 525] 操作後 derived = [14, 7, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product26 := mul(7, 26) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product26 = 182 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 26, 7, 182] 操作後 derived = [4, 34, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product27 := mul(34, 27) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product27 = 918 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 27, 34, 918] 操作後 derived = [24, 30, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product28 := mul(30, 28) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product28 = 840 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 28, 30, 840] 操作後 derived = [22, 26, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product29 := mul(26, 29) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product29 = 754 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 29, 26, 754] 操作後 derived = [20, 14, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product30 := mul(14, 30) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product30 = 420 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 30, 14, 420] 操作後 derived = [11, 13, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product31 := mul(13, 31) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product31 = 403 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 31, 13, 403] 操作後 derived = [10, 33, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product32 := mul(33, 32) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product32 = 1056 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 32, 33, 1056] 操作後 derived = [28, 20, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product33 := mul(20, 33) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product33 = 660 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 33, 20, 660] 操作後 derived = [17, 31, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product34 := mul(31, 34) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product34 = 1054 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 34, 31, 1054] 操作後 derived = [28, 18, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product35 := mul(18, 35) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product35 = 630 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 35, 18, 630] 操作後 derived = [17, 1, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product36 := mul(1, 36) 操作後 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product36 = 36 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 37, 36, 1, 36] 操作後 derived = [0, 36, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S108 S110 · implies操作前 source roles = [37, [[1, 1], [2, 19], [3, 25], [4, 28], [5, 15], [6, 31], [7, 16], [8, 14], [9, 33], [10, 26], [11, 27], [12, 34], [13, 20], [14, 8], [15, 5], [16, 7], [17, 24], [18, 35], [19, 2], [20, 13], [21, 30], [22, 32], [23, 29], [24, 17], [25, 3], [26, 10], [27, 11], [28, 4], [29, 23], [30, 21], [31, 6], [32, 22], [33, 9], [34, 12], [35, 18], [36, 36]]] 操作後 derived = [[1, 36], [[2, 19, 1], [3, 25, 1], [4, 28, 1], [5, 15, 1], [6, 31, 1], [7, 16, 1], [8, 14, 1], [9, 33, 1], [10, 26, 1], [11, 27, 1], [12, 34, 1], [13, 20, 1], [17, 24, 1], [18, 35, 1], [21, 30, 1], [22, 32, 1], [23, 29, 1]], 36, 是] 條件：無 非self-inverse成對相乘1；self-inverse解(r-1)(r+1)=0 mod prime，故只±1。p>2相異乘積-1；p2僅1=-1一個。這是一般教學理由，有限表／本程式不冒稱Lean proof。 步驟識別與依賴規則：Wilson_GENERAL_inverse_pairing_and_p2_exception · 依賴：G001, S109 ## 逐步反向核對 - S110 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S109 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product36，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product35，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product34，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product33，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product32，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product31，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product30，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product29，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product28，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product27，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product26，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product25，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product24，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product23，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product22，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product21，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product20，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product19，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product18，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product17，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product16，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product15，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product14，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product13，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product12，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product11，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product10，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product9，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product8，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product7，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product6，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product5，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product4，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product3，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S036 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S035 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S034 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S033 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S032 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S031 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S030 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S029 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S028 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S027 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S026 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S025 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S023 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S022 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 (37, [[1, 1], [2, 19], [3, 25], [4, 28], [5, 15], [6, 31], [7, 16], [8, 14], [9, 33], [10, 26], [11, 27], [12, 34], [13, 20], [14, 8], [15, 5], [16, 7], [17, 24], [18, 35], [19, 2], [20, 13], [21, 30], [22, 32], [23, 29], [24, 17], [25, 3], [26, 10], [27, 11], [28, 4], [29, 23], [30, 21], [31, 6], [32, 22], [33, 9], [34, 12], [35, 18], [36, 36]], [1, 36], [[2, 19, 1], [3, 25, 1], [4, 28, 1], [5, 15, 1], [6, 31, 1], [7, 16, 1], [8, 14, 1], [9, 33, 1], [10, 26, 1], [11, 27, 1], [12, 34, 1], [13, 20, 1], [17, 24, 1], [18, 35, 1], [21, 30, 1], [22, 32, 1], [23, 29, 1]], self_inverse_residues_1_and_p_minus_1, 36, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0a4050cbd599d9557abdddc655e1c2b4513c969bbc7b52ae8661c08330f77618 - candidate record SHA-256: 896dccac465028cf525d6ebfa7e0082babaf94bb2f686a7aac28c8e2a1f09cc2 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0037.json)